Seja

Calcule resolvendo a integral.

Calcule o limite:

Usando soma de Riemann, verifique que .

Explique porque podemos dizer que existem os limites quando vai ao infinito de e de .

Para calcular o limite pedido é interessante que a gente já escreva a integral que calculamos no item e, então, analisemos o limite:

(c)Ele quer verificar a seguinte igualdade

Como comparamos uma integral com um somatório? Comparando com a soma de Riemann.

Ele deu a função, que no casso vai ser

Ele deu o intervalo que vai ser

A questão é ele quer a soma que vai por baixo, mas qual delas vai ser? A Pela direita ou pela esquerda? Como é decrescente a soma que é menor que a integral é a Soma pela direita.

Troquei o habitual por para ficar parecido com o somatório que ele tem ali.

Onde é o número de retângulos, que ainda não sabemos quanto é, normalmente usamos como está na fórmula, mas vamos deixar assim por enquanto porque pode não ser bem assim, queremos um cara que a soma de Riemann bata certinho com aquela que temos, então talvez seja interessante pegar algo diferente de .

Tem algo de estranho nessa parada toda, olha a soma que ele quer

E olha como é a soma pela direita

Então, para manter esse somatório igual, temos que deslocar todos os valores de em uma unidade, desde até . Assim começa no

Fica atento num detalhe, queremos continuar tendo a soma começando com e depois e por aí vai, como agora o vai começar em devemos pegar para que o primeiro cara seja e assim o somatório continuar sendo igual.

O novo somatório vai ficar

Beleza, vamos compara agora

Isso nos diz que

Agora podemos achar

Além disso podemos achar

Assim vamos ter

Então aquele cara da desigualdade é a Soma de Riemann pela direta.

Sabemos que a soma de Riemann pela direta, quando temos uma função decrescente é sempre menor que o valor da integral, Então

Como vimos, de forma levemente tensa e difícil, a soma pela direita é

Isso nos diz a desigualdade que ele queria

(d)

Já vimos que

É a Soma de Riemann pela direita, se fizermos o limite disso ele vai dar exatamente a integral, então

Já calculamos aquela integral,

Logo ele converge.

Vamos ao outro limite

Repara que isso é o mesmo que

Ou seja também converge.