UFRJ – Cálculo 1 – Lista 14 – Questão 6
Seja não negativa e considere a área entre o gráfico de e o eixo das abscissas. Sejam E e D duas somas de Riemann para no intervalo , sendo E com pontos amostrais nas extremidades esquerdas dos subintervalos de e D com pontos amostrais nas extremidades nas extremidades direitas dos subintervalos de .
- Coloque e em ordem crescente, sabendo que é crescente
- Coloque , E e D em ordem crescente, sabendo que é decrescente.
Passo 1
Esse tipo de problema exige da gente mais conhecer a teoria do que qualquer coisa, então bora que bora!
Vamos primeiro analisar o caso de uma função crescente no intervalo . Se a função é crescente, já podemos dizer que , beleza? Guarda essa informação.
Portanto se eu dividir esse intervalo em vários subintervalos, , a gente sabe que por essa função ser uma função crescente, os pontos amostrais tomados na esquerda sempre serão menores que os pontos amostrais tomados na direita, ou seja,
Então se é a área do gráfico e sabendo que pela soma de Riemann a área do gráfico deve ser igual a soma das multiplicado pelo , temos que:
Para uma função crescente, temos necessariamente que
Logo, temos:
Passo 2
Para função decrescente, basta pensarmos ao contrário, temos que , logo
Tendo como resultado: