UNB-Cálculo 1 – Listas de aplicação em cálculo 1 - Lista 10 – 2020.2 – Questão 2
Seja uma função contínua. Considere e os valores máximo e mínimo de em , respectivamente.
- Use as propriedades da integral para verificar que:
- Usando o Teorema do Valor Intermediário, conclua que existe tal que
- Usando o mesmo raciocínio mostre que, se é uma função não negativa tal que , então existe tal que:
Passo 1
Olá galerinha do Responde Aí, está tudo ok?
Aqui temos uma questão de introdução aos conceitos da terrível integral. E aí, prontinho?
Relaxa, precisa ficar tristinho não. Aqui temos uma questão puramente dedutiva, algo mais abstrato, não é muito comum ver em prova não.
Todos os conceitos que precisaremos está escrito no enunciado da questão. Com exceção de um que é a soma de Riemann que é definido pela seguinte expressão:
Enfim, vamos colocar a mão na massa? Assim esses conceitos vão ficar mais concretos.
Bem, vamos lá. É você que manda.
Passo 2
Primeiramente, precisamos mostrar que:
Para resolver a primeira alternativa vamos utilizar a seguinte informação:
uma função contínua
Sendo assim, temos que o domínio da função está entre os elementos de fechado, logo:
Tomando um para Podemos escrever a seguinte inequação que:
Sendo pontos de máximo e mínimo da função. Aplicando o limite com chegamos na soma de Riemann, que é dado por:
Normalmente, nos livros chamamos essa soma por um nome legal que é a integral e escrevemos da seguinte forma:
Prontinho 😊
Passo 3
No item b) queremos mostrar que existe um número no intervalo que obedece:
Para resolver essa letra precisaremos da igualdade demonstrada na alternativa que é:
Já que são valores constantes podemos resolver as integrais dos extremos chegando na seguinte igualdade:
Como temos que , podemos reescrever a seguinte inequação:
O teorema do valor intermediário afirma que assume todos os valores possíveis entre dois de quaisquer de seus valores, logo podemos afirmar que existe:
Portanto como são dois valores extremos de e como está entre esses dois valores, deve existir um número tal que:
Passo 4
Pra finalizar nossa questãozita, queremos provar que novamente existe um , que obedece:
Partindo da seguinte inequação demonstrada antes:
Podemos modificá-la e deixar da seguinte forma:
Passando os limites com , chegamos na seguinte expressão:
Concluindo que chegamos novamente nas somas de Riemann, que tem como uma notação mais comum a seguinte forma:
Como a questão nos informa que podemos reorganizar a inequação acima da seguinte forma:
Consequentemente:
Utilizando o teorema do valor intermediário igual a alternativa anterior temos que:
Ufaaa! Conseguimos!! É isso pessoal, espero que vocês tenham entendido tudinho. Até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.