Dada a função
Determine a soma de Riemann tanto pela esquerda quando pela direita no intervalo .
Compare os dois valores encontrados.
Passo 1
Vamos começar fazendo a soma de Riemann pela esquerda, lembra como é sua fórmula que vimos na teoria?
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando com .
Com
Beleza, vamos identificar cada uma dessas paradas. Aqui ele não deu o número de retângulos, então vamos deixar como mesmo.
Além disso temos os valores do intervalo então
Beleza já temos praticamente tudo que precisamos para a soma
O valor de vai ser
Agora vamos achar os valores de
A soma vai ficar
Que vai ser
Dando uma arrumada vamos ter
Passo 2
Vamos agora para a soma pela direita
Podemos ver essa soma também como
Onde
Aqui começamos com e terminando em .
O valor de não vai mudar, o que vai mudar é quais desses valores vamos pegar, nesse caso começando com e terminando com
O primeiro cara sai e acrescentamos um novo último.
A soma vai ficar
Arrumando isso
Passo 3
Vamos agora compara os dois caras, vamos lembrar quem eles são
Repara que o termo geral é igual, mas um começa com e termina em e outro começa em e termina em
Vamos ver quem é maior que vem fazendo a subtração desses dois caras.
Bem, o termo geral é o mesmo, então para todos os valores de até o termo geral do primeiro somatório será igual ao do segundo, logo eles vão se anular. Sendo assim, só sobra o termo do primeiro somatório e o termo do segundo:
Isso nos diz que a soma pela esquerda é maior, o que faz todo sentido de acordo com o que já vimos na teoria, já que é uma função decrescente.