UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.1 – Questão 1d
Seja A a medida da área da região limitada inferiormente pelo eixo x, superiormente pela função , à esquerda pela reta e à direita pela reta .
(d) Estime o valor de A dividindo o intervalo [1; 3] em duas partes iguais e usando dois retângulos acima do gráfico de f. Faça um gráfico representando a situação.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Ela é uma continuação, então vamos recapitular o que sabemos até aqui: fizemos o esboço da região delimitada pelas curvas
A área é a área correspondente à essa região. E podemos escrever em termos de uma integral:
Agora o problema nos pede para estimar essa mesma região, mas agora utilizando dois retângulos de bases iguais, dividindo o intervalo em dois. E mais, pede para calcularmos essa região superestimando a região! Ou seja, usando as alturas dos retângulos acima de
Então a ideia aqui é dividir esse intervalo em dois, achar os retângulos no gráfico da região e estimar somando as áreas desses dois retângulos!
Mas relaxa, vamos fazer passo a passo juntos!
Passo 2
Vamos começar dividindo o intervalo em !
O intervalo vai de até :
Então temos que o primeiro intervalo é
De até , e o outro
De até !
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos desenhar dois retângulos com alturas até a função . Um começando em até , e o outro de até :
Note que esses com apenas esses dois retângulos não teremos uma estimativa muito boa para região, mas uma estimativa superestimada
Beleza?
Passo 4
Agora nossa missão é encontrar a área desses dois retângulos aí! A área de um retângulo é
A área dos dois retângulos é a soma de e :
Vamos calcular primeiro:
Lembrando que , então . Daí a área é:
Beleza? Agora a :
Mas , aí a área é
Por fim a soma das áreas:
Beleza? E é isso! Isso é estimar a área pela soma de Riemann pela direita! É uma estimativa ‘por cima’, estamos superestimando o valor dessa região
Tranquilo?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?