UFPE – Cálculo 1 – 2020.2 – Terceiro Exame – Exercício 1
Seja .
a) Calcule a soma de Riemann para , no intervalo com 8 partições, tomando como pontos amostrais os extremos direitos.
b) Calcule .
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Nesse problema vamos brincar um pouco com somas de Riemann e integrais. Vamos começar pela primeira...
Aqui vai um lembrete do que é uma soma de Riemann:
Basicamente, o que fazemos é quebrar o intervalo em pedaços (partições) e para cada intervalinho pegar um ponto amostral , calcular o valor da função nesse ponto e daí multiplicar pelo comprimento do intervalo . Por fim, basta somar todos esses produtos. No limite de (isto é, o número de intervalos tender para infinito), essa soma vira uma integral!
Nesse problema, temos que quebrar o intervalo em 8 intervalos:
O comprimento de cada um desses intervalos é
Além disso, como os pontos amostrais são os extremos direitos (está no enunciado), temos que
A soma de Riemann será dada por
Ou ainda,
Passo 2
Precisamos saber o valor da função em cada um desses pontos:
Logo,
Portanto,
Passo 3
No item (b), temos que fazer a integral para comparar com a soma de Riemann:
Fazendo a primitiva:
Substituindo os limites de integração:
Portanto,
Vemos que o valor da soma de Riemann não está tão longe da integral...