Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

Ver Teoria
Exercício 271234567891011121314151617181920212223242526282930313233343536373839404142434445

Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 39

(Cap.16.2 - Ex.39) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x , y = x i + y + 2 j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide r t = t − s e n t i + 1 − c o s t j , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Oiii, gente linda!!! Vamos entender o nosso problema por partes primeiro. A questão deseja saber o valor do trabalho realizado, certo?

Tá, mas como podemos descobrir isso?

Bom, aprendemos que o trabalho é o produto da força pelo deslocamento, né? Ótimo! Vamos usar essa nossa noção intuitiva de como calcular o trabalho, entretanto, agora utilizando os conceitos de campos vetoriais e vetor tangente à curva. Assim, temos que o trabalho pode ser encontrado pela fórmula:

W = ∫ c F ⋅ d r = ∫ a b F r t ⋅ r ' t d t

O aparecimento do t na expressão se dá devido ao processo de parametrização. Logo, o trabalho que desejamos encontrar se trata de uma integral de linha de um campo vetorial F em função de um parâmetro t   ao longo de uma curva parametrizada r → t .

Passo 2

Então galera, o trabalho vai ser calculado da seguinte maneira:

W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t

Mas,

F r t = t − s e n t i + 3 − c o s t j

r ' t = 1 − c o s t i + s e n t j

Então,

∫ 0 2 π F r t ⋅ r ' t d t = ∫ 0 2 π ⟨ t − s e n   t , 3 − c o s t ⟩ ⋅ ⟨ 1 − c o s   t , s e n   t ⟩   d t = ∫ 0 2 π t − t c o s t − s e n t + s e n t c o s t + 3 s e n t − s e n t c o s t d t = ∫ 0 2 π t − t c o s t + 2 s e n t d t

Lembrando que o “.” acima representa o Produto interno.

Passo 3

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 2 π t − t c o s   t + 2 s e n   t d t

Vamos resolver de um por um, dessa forma ficará menos assustador.

∫ 0 2 π t d t = t ² 2 | 0 2 π = 2 π ²

Em seguida, vamos fazer integração por partes:

∫ 0 2 π − t c o s t d t = t s e n t t − ∫ s e n t d t | 0 2 π = t s e n t + c o s t | 0 2 π = 0

E por fim,

∫ 0 2 π 2 s e n t d t = 2 − c o s t | 0 2 π = 0

Logo, o resultado será:

2 π ² − 0 + 0 = 2 π ²

Tudo beleza? Pois bora continuar exercitando :)

Resposta

W = 2 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y = xs e nyi + yj em uma partícula que se move sobre a parábola y = x 2 de - 1 ,1 a 2 ,4 .
Seja F x , y = - yi + xj x 2 + y 2 Mostre que ∂ P / ∂ y = ∂ Q / ∂ x .Mostre que ∫ C F ⋅ d r não é independente do caminho. [Sugestão: calcule ∫ C 1 F ⋅ d r e ∫ C 2 F ⋅ d r onde C 1 e C 2 são as metade
Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência x 2 + y 2 = 1 .Isso também é verdadeiro para um campo d
Determine uma função f tal que F → = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada. F → x , y = 3 + 2 x y 2 i → + 2 x 2 y j → , C é o arco da hipérbole y = 1 x de ( 1,1 ) a
Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral. ∫ C 2 x s e nyd x + ( x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 ) d y C é qualquer caminho de ( - 1,0 ) a ( 5,1 )