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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 7c

7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

c) F → x , y = 0 , x 2 e γ t = t 2 , 3 , t ∈ - 1 , 1 .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y = 0 , x 2 ao longo do caminho γ t = t 2 , 3 em que t ∈ - 1 , 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t 2 , 3 então F → γ t será dado por

F → x , y = 0 , x 2 → F → γ t = 0 , t 4

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t 2 d t , d 3 d t

γ ' t = 2 t , 0

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = - 1 e b = 1 ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ - 1 1 0 , t 4 · 2 t , 0 d t

∫ γ F → d r → = ∫ - 1 1 0 d t

Como a função de integração é igual a 0 , podemos afirmar que

∫ γ F → d r → = 0

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ γ F → d r → = 0

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