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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Integrais de linha – caso vetorial

Calcule a integral de linha

∫ C   F ( r ) . d r

Onde F x , y = y , 3 x e C é a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos montar a integral:

∫ C   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ⋅ r → ' t d t

Bom, agora precisamos de uma parametrização para C . Como se trata de um elipse, vamos usar coordenadas elípticas:

x = a   r cos ⁡ θ

y = b   r   s e n   θ

Esses coeficientes a e b estão aí para cancelar os denominadores na equação da elipse, nos levando a r = 1 quando fazemos a mudança de variáveis.

Como r = 1 , temos:

x = a cos ⁡ θ

y = b   s e n   θ

r → θ = a cos ⁡ θ , b   s e n   θ

Como se trata da elipse toda, percorrida no sentido anti-horário, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora calculamos r → ' θ :

r → ' θ = d ( a cos ⁡ θ ) d θ ,   d ( b   s e n   θ ) d θ , = - a   s e n   θ , b cos ⁡ θ

Passo 3

Vamos, então, substituir r → ' θ na integral e escrever o campo em função da parametrização.

O campo é dado por

F x , y = y , 3 x

Aplicando a parametrização

r → θ = a cos ⁡ θ , b   s e n   θ

Temos

F x ( θ ) , y ( θ ) = b   s e n   θ , 3 a cos ⁡ θ

Substituindo então na integral, temos

∫ 0 2 π b   s e n   θ , 3 a cos ⁡ θ . - a   s e n   θ , b cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 2 π - a b   s e n 2 θ + 3 a b cos 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 2 π - a b   s e n 2 θ - a b cos 2 ⁡ θ + 4 a b cos 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 2 π - a b + 4 a b cos 2 ⁡ θ d θ =

Agora, usamos a relação:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

= ∫ 0 2 π - a b + 2 a b ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ =

= ∫ 0 2 π a b + 2 a b cos ⁡ 2 θ d θ =

= a b   θ + a b   s e n   2 θ 0 2 π =

= 2 a b π

Resposta

2 a b π

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