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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 7d

7. Calcule ∫ γ F → d r → , sendo dados:

d) F → x , y = x 2 , x - y e γ t = t , sin ⁡ t , t ∈ 0 , π .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y = x 2 , x - y ao longo do caminho γ t = t , sin ⁡ t em que t ∈ 0 , π .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t , sin ⁡ t então F → γ t será dado por

F → x , y = x 2 , x - y → F → γ t = t 2 , t - sin ⁡ t

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t d t , d sin ⁡ t d t

γ ' t = 1 , cos ⁡ t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = π ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 π t 2 , t - sin ⁡ t · 1 , cos ⁡ t d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 π t 2 + cos ⁡ t t - sin ⁡ t d t

Simplificando...

∫ γ F → d r → = ∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t

Calculando essa integral, temos

∫ t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = t 3 3 + t sin ⁡ t + cos ⁡ t - sin 2 ⁡ t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 + π sin ⁡ π + cos ⁡ π - sin 2 ⁡ π 2 - 0 3 3 + 0 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 - sin 2 ⁡ 0 2

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 - 1 - 1

∫ 0 π t 2 + t cos ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = π 3 3 - 2

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = π 3 3 - 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ γ F → d r → = π 3 3 - 2

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