Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Calcule o trabalho realizado pela força F = 2 x y 3 i + 4 x 2 y 2 j ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até 1,0 , em seguida ao longo do seguimento de reta até 1,1 , e então de volta à origem ao longo da curva y = x 3

Passo 1

Primeiro o que significa calcular o trabalho? Isso precisa estar fixo na mente, se ele pede trabalho ele quer a integral de linha vetorial dessa força vetorial.

Então

τ = ∫ C F ∙ d r

Onde C é aquela curva toda doida que ele deu.

Podemos separa essa curva em 3 partes

C 1 → indo da origem ao ponto 1,0 ao longo do eixo x

C 2 → Indo de 1,0 ao ponto 1,1 através da reta que liga os dois pontos

C 3 → Ir do ponto 1,1 de volta para a origem ao longo da curva y = x 3

Então o nosso trabalho na verdade é

τ = ∫ C F ∙ d r = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r + ∫ C 3 F ∙ d r

Vamos calcular cada uma dessas integrais de linha

Passo 2

Vamos começar com C 1

Temos primeiro que parametrizar essa curva, como ela é uma reta que anda ao longo do eixo x só o valor de x vai mudar enquanto o valor de y vai se manter em 0 , então

σ 1 → t = t , 0

Com t indo de 0 à 1

Passo 3

Vamos agora achar sua derivada

σ → 1 ' t = 1,0

Passo 4

A integral de linha vai ficar

∫ C 1 F ∙ d r = ∫ C 1 F σ 1 t ∙ σ → 1 ' t d t =

∫ 0 1 2 x . 0 3 , 4 x 2 0 2 ∙ 1,0 d t =

∫ 0 1 0,0 ∙ 1,0 d t =

∫ 0 1 0 d t =

0

Então

∫ C 1 F ∙ d r = 0

Passo 5

Vamos agora para a integral de linha de C 2

Temos primeiro que parametrizar essa curva, como ela é uma reta que varia só o valor de y , indo de y = 0 até y = 1 , o valor de x vai ser sempre 1 , então

σ 2 → t = 1 , t

Com t indo de 0 à 1

Passo 6

Vamos agora achar sua derivada

σ → 2 ' t = 0 , 1

Passo 7

A integral de linha vai ficar

∫ C 2 F ∙ d r = ∫ C 2 F σ 2 t ∙ σ → 2 ' t d t =

∫ 0 1 2.1 . t 3 , 4 . 1 2 t 2 ∙ 0,1 d t =

∫ 0 1 2 t 3 , 4 t 2 ∙ 0,1 d t =

∫ 0 1 4 t 2 d t =

4 t 3 3 0 1 =

4.1 3 3 - 4.0 3 3 =

4 3

Então

∫ C 2 F ∙ d r = 4 3

Passo 8

Vamos agora para a integral de linha de C 3

Temos primeiro que parametrizar essa curva, repara que temos y em função de x então se fizermos

x = t

Vamos ter

y = t 3

e

σ 3 → t = t , t 3

Dessa vez vamos ter x indo de 1 à 0 , ou seja, t varia de 1 à 0 . É isso mesmo, com a ordem invertida, não tem problema nenhum isso faz com que a orientação da curva esteja certinha.

Passo 9

Vamos agora achar sua derivada

σ → 3 ' t = 1,3 t 2

Passo 10

A integral de linha vai ficar

∫ C 3 F ∙ d r = ∫ C 3 F σ 3 t ∙ σ → 3 ' t d t =

∫ 1 0 2 . t . t 3 3 , 4 . t 2 t 3 2 ∙ 1,3 t 2 d t =

∫ 1 0 2 . t . t 9 , 4 . t 2 t 6 ∙ 1,3 t 2 d t =

∫ 1 0 2 t 10 , 4 t 8 ∙ 1,3 t 2 d t =

∫ 1 0 2 t 10 + 12 t 10 d t =

∫ 1 0 14 t 10 d t =

14 t 11 11 0 1 =

14.0 11 11 - 14.1 11 11 =

- 14 11

Então

∫ C 3 F ∙ d r = - 14 11

Passo 11

O trabalho vai ser

τ = ∫ C F ∙ d r = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r + ∫ C 3 F ∙ d r

Então

τ = 0 + 4 3 - 14 11

τ = 44 - 42 33

τ = 2 33

Resposta

τ = 2 33

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