Integrais de Linha - Caso Vetorial
Calcule o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo até , em seguida ao longo do seguimento de reta até , e então de volta à origem ao longo da curva
Passo 1
Primeiro o que significa calcular o trabalho? Isso precisa estar fixo na mente, se ele pede trabalho ele quer a integral de linha vetorial dessa força vetorial.
Então
Onde é aquela curva toda doida que ele deu.
Podemos separa essa curva em partes
indo da origem ao ponto ao longo do eixo
Indo de ao ponto através da reta que liga os dois pontos
Ir do ponto de volta para a origem ao longo da curva
Então o nosso trabalho na verdade é
Vamos calcular cada uma dessas integrais de linha
Passo 2
Vamos começar com
Temos primeiro que parametrizar essa curva, como ela é uma reta que anda ao longo do eixo só o valor de vai mudar enquanto o valor de vai se manter em , então
Com indo de à
Passo 3
Vamos agora achar sua derivada
Passo 4
A integral de linha vai ficar
Então
Passo 5
Vamos agora para a integral de linha de
Temos primeiro que parametrizar essa curva, como ela é uma reta que varia só o valor de , indo de até , o valor de vai ser sempre , então
Com indo de à
Passo 6
Vamos agora achar sua derivada
Passo 7
A integral de linha vai ficar
Então
Passo 8
Vamos agora para a integral de linha de
Temos primeiro que parametrizar essa curva, repara que temos em função de então se fizermos
Vamos ter
e
Dessa vez vamos ter indo de à , ou seja, varia de à . É isso mesmo, com a ordem invertida, não tem problema nenhum isso faz com que a orientação da curva esteja certinha.
Passo 9
Vamos agora achar sua derivada
Passo 10
A integral de linha vai ficar
Então
Passo 11
O trabalho vai ser
Então