(Cap.16.3 - Exercício 5) Determine se F → é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F → = x , y = e x ⋅ c o s y ⋅ i → + e x ⋅ s e n y ⋅ j →

Passo 1

Oiii gente linda, tudo bem?

Bom nossa questão deseja saber se o campo F → é conservativo ou não. Uma propriedade interessante do campo conservativo é que o trabalho independe da trajetória.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.

Passo 2

Temos que para o campo ser conservativo tanto as derivadas em relação a x quanto a derivada em relação a y devem ser iguais. Ou seja:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Assim, temos que

∂ ∂ y e x ⋅ c o s y = − e x ⋅ s i n y

∂ ∂ x e x ⋅ s i n y = e x ⋅ s i n y

Como as derivadas não são iguais, temos que o campo não é conservativo.

E aí, não foi tão complicado né? Com calma você vai pegando o jeito!

Bons Estudos!

Resposta

Como as derivadas não são iguais, temos que o campo não é conservativo.

Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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