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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 12

(Cap.16.3 - Exercício 12) (a) Determine uma função f tal que F → = ∇ f e (b) Use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = x 2 i → + y 2 j → , C é o arco da parábola y = 2 x 2 de − 1,2 a 2,8

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.

Passo 2

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ x 2 ∂ y = 0

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ y 2 ∂ x = 0

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ x 2 d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g y (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x 3 3 + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = g ' y

Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 2 a componente y do campo dado:

F y = y 2

E agora vamos igualar os dois lados!

y 2 = g ' y

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

∫ g ' y d y = ∫ y 2 d y = + C

g y = y 3 3 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x 3 3 + y 3 3 + C

Passo 5

Show! Agora temos que o ponto final é 2,8 e a função potencial nesse ponto é:

f 2,8 = 2 3 3 + 8 3 3 + C = 520 3 + C

E no ponto inicial, que é − 1,2 a função f vale:

f − 1,2 = − 1 3 3 + 2 3 3 + C = 7 3 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l − f i n i c i a l = 520 3 + C − 7 3 + C = 520 − 7 3 = 171

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 171 !

Tudo certinho? Responde aí

Bora fazer mais questões!

Bons Estudos!

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 171

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