Questão 3: Calcule a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva dada pela equação , do ponto até o ponto .
Passo 1
Bem, a primeira coisa que vamos fazer aqui é deixar bem claro o que o problema nos pede e ora, o que ele quer é que calculemos uma integral de linha, então...
Pra resolvê-la, vamos como sempre, começar parametrizando a curva , certo?
Passo 2
CERTO! Vamos de fato parametriza-la, e veja que a equação dessa curva, é quase uma equação explícita...
Jogando o pro outro lado...
OPA! É uma parábola =). E veja que agora ela está escrita de forma explícita, sugerindo uma parametrização também explícita, onde...
E o já fica direto em função do parâmetro...
Basicamente essa já é a parametrização, mas por questão de estética, costumamos escrever a parametrização dessa forma aqui oh:
Assim, dado um valor do parâmetro, você tem o ponto correspondente da curva, saca?
Passo 3
Gostaria de dizer que a parametrização é só isso, mas estaria mentindo pra você. Existe ainda uma parte extremamente importante: definir o intervalo onde o parâmetro está variando.
Pra isso, vamos usar a informação de início e fim da curva que o problema nos disse:
“do ponto até o ponto ”
Para encontrar onde o parâmetro inicia...
Veja que quando , temos o referido ponto. Vamos só repetir para o ponto final:
Ou seja, é o último ponto. Logo, agora sabemos que o só pode estar variando entre...
Passo 4
Outra parada importante antes de retornar para a integral é encontrar o termo , dado por...
Lembre-se que derivar vetor é derivar todas as coordenadas dele...
Passo 5
A última coisa é trocar os termos da função pelos termos da parametrização...
Como ...
Passo 6
Sem mais delongas, bora voltar para a integral e substituir tudo:
Calculando o produto escalar desses vetores...
Agora é só integrar mesmo! No caso, fazendo integração por partes...
Pela fórmula de integração por partes...
Voltando para a integração definida...