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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 23

(Cap.16.3 - Exercício 23) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P para Q .

F → x , y = 2 y 3 2 i → + 3 x y j → ; P 1,1 , Q 2,4

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação. Em seguida a função escalar, e, por fim, poderemos encontrar o trabalho realizado.

Passo 2

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 2 y 3 2 ∂ y = 2.3 2 y = 3 y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ 3 x y ∂ x = 3 y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ 2 y 3 2 d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g y (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = 2 x y 3 2 + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = 3 x y + g ' y

Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 2 a componente y do campo dado:

F y = 3 x y

E agora vamos igualar os dois lados!

3 x y = 3 x y + g ' y

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 3 temos a função potencial completa:

f = 2 x y 3 2 + C

Passo 5

Show! Agora temos que o ponto inicial é 1,1 e a função nesse ponto é:

f 1,1 = 2 + C

Agora temos que o ponto inicial é 2,4 e a função nesse ponto é:

f 2,4 = 2.2 . 4 3 2 + C = 2.2 . 2 3 + C = 2 5 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l − f i n i c i a l = 2 5 + C − 2 + C = 32 − 2 = 30

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 30 !

Tudo certinho? Responde aí

Bora fazer mais questões!

Bons Estudos!

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 30

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