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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Calcule a integral de linha I = ∫ C a → . d r → , onde   a → = x + y i → + y - x j → , ao longo de cada curva plana C dada abaixo, do ponto A = 1,1 ao ponto B = 4,2

(b) C é a curva dada por r u = 2 u 2 + u + 1,1 + u 2

Passo 1

Vamos seguir aqui o passo a passo normal de uma integral de linha no caso vetorial, já temos uma parametrização da curva, só precisamos saber o intervalo de u , não é?

Podemos pegar o valor inicial de x ou de y pra descobrir isso, eu aconselho y porque a parametrização é mais simples, olha só:

No ponto inicial A , temos que y = 1 , portanto

y = 1 + u 2 = 1

u = 0

No ponto final B , temos que y = 2 , portanto

1 + u 2 = 2

u = ± 1

Aqui não tem jeito, não podemos ter duas opções de u , vamos testar com x

x = 2 u 2 + u + 1

Se u = 1 , temos que

x = 2 u 2 + u + 1 = 2 + 1 + 1 = 4

Se u = - 1 , temos que

x = 2 u 2 + u + 1 = 2 - 1 + 1 = 2

Como o nosso ponto final tem x = 4 , o limite superior de u é o primeiro mesmo, u = 1 . Com isso

0 ≤ u ≤ 1

Passo 2

Já temos a parametrização, vamos ver qual o campo F → com o novo parâmetro

F → x , y = x + y , y - x

Sabendo que

x = 2 u 2 + u + 1

y = 1 + u 2

F → u = 2 u 2 + u + 1 + 1 + u 2 , 1 + u 2 - 2 u 2 + u + 1

F → u = 3 u 2 + u + 2 , - u 2 - u

Passo 3

Vamos precisar também da derivada da parametrização da curva, vem comigo aqui

r u = 2 u 2 + u + 1,1 + u 2

Derivando isso

r ' u = 4 u + 1,2 u

Passo 4

Juntando tudo isso na integral

∫ 0 1 3 u 2 + u + 2 , - u 2 - u . 4 u + 1,2 u d u

Tem que resolver esse produto escalar aí

∫ 0 1 3 u 2 + u + 2 . 4 u + 1 + - u 2 - u . 2 u d u

= ∫ 0 1 12 u 3 + 4 u 2 + 8 u + 3 u 2 + u + 2 - 2 u 3 - 2 u 2 d u

= ∫ 0 1 10 u 3 + 5 u 2 + 9 u + 2 d u

Passo 5

Resolvendo essa integral

∫ 0 1 10 u 3 + 5 u 2 + 9 u + 2 d u

= 10 u 4 4 + 5 u 3 3 + 9 u 2 2 + 2 u 0 1 =

= 10 4 + 5 3 + 9 2 + 2 =

= 5 2 + 5 3 + 9 2 + 2 =

= 9 + 5 3 =

= 32 3

Resposta

32 3

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