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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Integrais de linha – caso vetorial

Calcule ∫ C   e x y - 4 y d x + e x d y onde C é o segmento de reta y = x contido no interior da elipse 16 x 2 + 9 y 2 = 1 e orientado no sentido de x crescente.

Passo 1

Vamos parametrizar a reta y = x que contem o segmento C . Podemos fazer isso de forma bem simples com ( x , x ) .

Precisamos agora descobrir o intervalo de x . A informação que temos é que o segmento está no interior da elipse, portanto, a reta corta a elipse duas vezes. Vamos, então, fazer a interseção entre a reta e a elipse e descobrir os dois valores para x , que definem o seu intervalo.

16 x 2 + 9 y 2 = 1   → 16 x 2 + 9 x 2 = 1

25 x 2 = 1

x = ± 1 / 5

Como queremos x crescente, o intervalo será - 1 / 5 ≤ x ≤ 1 / 5 .

Passo 2

Agora calculamos σ → ' x :

σ → ' x = d x d x ,   d x d x , = ( 1,1 )

Passo 3

Vamos, então, substituir σ → ' t na fórmula abaixo e escrever F em função do parâmetro x

∫ a b F x x ,   y x . σ → ' x d x

O campo pode ser reescrito como ( e x y - 4 y ,   e x ) .

∫ - 1 / 5 1 / 5 ( e x x - 4 x ,   e x ) . ( 1,1 ) d x =

= ∫ - 1 / 5 1 / 5 e x x - 4 x +   e x d x =

= ∫ - 1 / 5 1 / 5 e x x + 1 - 4 x d x = ∫ - 1 / 5 1 / 5 e x x + 1 d x - 4 ∫ - 1 / 5 1 / 5 x d x =

Passo 4

Finalmente, calculamos as integrais.

A primeira, integraremos por partes, fazendo e x = u ' e x + 1 = v , o que nos dá e x = u e 1 = v '

∫ u ' v = u v - ∫ u v '

∫ e x x + 1 d x = e x ( x + 1 ) - ∫ e x . 1 d x

∫ e x x + 1 d x = e x x + 1 - e x = e x x

O que nos dá

e x x - 1 / 5 1 / 5 = 1 5 e 1 / 5 + e - 1 / 5

A segunda integral é mais simples, teremos:

4 ∫ - 1 / 5 1 / 5 x d x = 4 x 2 2 - 1 / 5 1 / 5 = 0

A solução é a diferença entre esses dois valores.

Resposta

1 5 e 1 / 5 + e - 1 / 5

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