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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 2 – Questão 40

(Capítulo 16.2 – Exercício 40) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x , y = x ² i ^ + y e x j ^ em uma partícula que se move sobre a parábola x = y 2 + 1 de 1,0 a 2,1 .

Passo 1

Fala aí, beleza?

Bom gente, a questão deseja saber o trabalho realizado não é mesmo?

Assim como a questãozinha anterior, vamos encontrar o trabalho usando a ideia de que trabalho é o produto da força pelo deslocamento.

Porém, como nossa força agora depende de duas componentes ( x e   y ) precisamos utilizar os conceitos de campo vetorial e vetor tangente à curva. Esse último serve para que possamos encontrar o deslocamento de nossa partícula em relação ao campo vetorial.

Vamos lembrar a definição matemática para calcular o Trabalho.

W = ∫ a b F → γ → t ⋅ γ → ' t d t

Assim, precisamos apenas saber parametrizar nossa curva e calcular a integral.

Passo 2

A curva dada é uma parábola x = y 2 + 1 ,

Logo fazendo y = t , temos que x = t 2 + 1 , assim temos γ → t = t 2 + 1 , t com 0 ≤ t ≤ 1 . Tomando a derivada de γ em relação a t , temos:

γ → ' t = 2 t , 1

Passo 3

Desta forma nossa integral se resume a:

∫ 0 1 t 2 + 1 2 , t e t 2 + 1 ⋅ 2 t , 1 d t = ∫ 0 1 2 t t 2 + 1 2 + t e t 2 + 1 d t

Vale lembrar que esse “.” acima representa o Produto Interno.

Passo 4

Vamos resolver por partes, pois assim será mais fácil.

Na primeira integral temos um polinômio, o que não requer muito sofrimento para resolvermos

∫ 0 1 2 t t 4 + 2 t 2 + 1 d t = ∫ 0 1 2 t 5 + 4 t 3 + 2 t d t = 2 6 t 6 + t 4 + t 2 0 1 = 7 3

Passo 5

Já na segunda integral, devemos fazer uma substituição.

Bora lá,

t 2 + 1 = u → t d t = d u 2

O intervalo se transforma

t = 0 → u = 1

t = 1 → u = 2

∫ 0 1 t e t 2 + 1 d t = ∫ 1 2 e u 2 d u = e u 2 1 2 = e 2 2 - e 2

Passo 6

Assim temos que o resultado final será:

7 3 + e 2 2 - e 2

Tudo certinho? Pois bora fazer mais probleminhas!

Resposta

7 3 + e 2 2 - e 2

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