Seja f   ( x , y ) uma função contínua sobre um arco regular γ de comprimento L. Se f x , y ≤ M , em todos os pontos ( x , y ) do arco γ , mostre que:

∫ γ f x , y d s ≤ M L .

Passo 1

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Para mostrar que ∫ γ f x , y d s ≤ M L , onde ∫ γ f x , y d s representa o valor absoluto da integral de linha da função f ( x , y ) ao longo do arco regular γ   de comprimento L , podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz é uma desigualdade que relaciona o produto escalar de dois vetores ao módulo desses vetores.

Primeiro, lembre-se da definição da integral de linha:

∫ γ f x , y d s = ∫ a b f γ t γ ' t d t

onde γ ( t ) é uma parametrização do arco γ a   e   b são os extremos do arco γ ,   f γ t é a função f ( x ,   y ) ao longo da curva γ t e γ ' t é o módulo do vetor tangente à curva no ponto γ t .

Agora, aplicamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz ao integrando:

∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ ∫ a b f γ t 2 d t ⋅ ∫ a b γ ' t 2 d t

Passo 2

Observe que, pela hipótese, temos que f γ t ≤ M em todos os pontos γ t do arco γ , o que nos permite escrever:

∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ ∫ a b M 2   d t ⋅ ∫ a b γ ' t 2 d t

Simplificando:

∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ M ∫ a b d t ⋅ ∫ a b γ ' t 2 d t

Uma vez que ∫ a b d t = L (pois o comprimento do arco γ é L e L   = L , temos:

∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ M L ⋅ ∫ a b γ ' t 2 d t

Passo 3

Agora, observe que ∫ a b γ ' t 2 d t   é o comprimento do arco γ ou seja, L .

Portanto:

∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ M L ⋅ L = M L L

Finalmente, temos:

∫ γ f x , y d s = ∫ a b f γ t γ ' t d t ≤ M L L  

Assim, demonstramos que ∫ γ f x , y d s ≤ M L L , o que conclui a prova.

Resposta

Assim, demonstramos que ∫ γ f x , y d s ≤ M L L , o que conclui a prova.

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