UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.1.
Seja uma função contínua sobre um arco regular de comprimento L. Se , em todos os pontos do arco , mostre que:
Passo 1
Oiee bora láaa
Para mostrar que , onde representa o valor absoluto da integral de linha da função ao longo do arco regular de comprimento podemos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
A desigualdade de Cauchy-Schwarz é uma desigualdade que relaciona o produto escalar de dois vetores ao módulo desses vetores.
Primeiro, lembre-se da definição da integral de linha:
onde é uma parametrização do arco são os extremos do arco é a função ao longo da curva e é o módulo do vetor tangente à curva no ponto
Agora, aplicamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz ao integrando:
Passo 2
Observe que, pela hipótese, temos que em todos os pontos do arco o que nos permite escrever:
Simplificando:
Uma vez que (pois o comprimento do arco é e temos:
Passo 3
Agora, observe que é o comprimento do arco ou seja, .
Portanto:
Finalmente, temos:
Assim, demonstramos que , o que conclui a prova.
Resposta
Assim, demonstramos que , o que conclui a prova.