Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).
Se é o círculo unitário com centro na origem, então:
Passo 1
Como o campo tem uma singularidade na origem (que está dentro de ), não vamos aplicar Green aqui, pois teríamos que removê-la da região de integração.
Vamos calcular essa integral de linha pela definição mesmo. A primeira coisa a fazer é parametrizar , em coordenadas polares:
Como o círculo é unitário, :
Então, temos a parametrização:
Onde .
Passo 2
Agora, vamos derivar isso aí:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula:
Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização:
Levando para a integral, temos:
Passo 4
Resolvendo isso aí:
Resposta
Verdadeira.