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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

  1. Calcule ∮ C   - y   d x + x   d y , ao longo dos seguintes caminhos fechados, orientados no sentido anti-horário.
  1. Elipse x 2 + 36 y 2 = 36 .

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∮ C   - y   d x + x   d y , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∮ C   F → x ,   y d r →

∮ C   - y   d x + x   d y = ∮ C   F → x ,   y d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y = - y ,   x

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva C , mas por falar nisso, quem é a curva C ?

Como nos pediu o exercício, a curva

x 2 + 36 y 2 = 36   →

x 2 6 2 + y 2 1 2 = 1

é uma elipse de centro na origem e mais achatadinha em x por 6 > 1 (não se esqueça de que está orientada no sentido anti-horário ):

Lembre-se que curvas elípticas com esse formato geral: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   , e centradas na origem podem ser parametrizadas...

x = a ⋅ cos ⁡ t

y = b ⋅ sin ⁡ t

Como a = 6 e b = 1 no nosso caso, então...

x = 6 cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

então, uma boa parametrização é

γ t = 6 cos ⁡ t ,   sin ⁡ t

Lembre-se de que o t sempre sai do eixo x girando no sentido anti-horário, sendo assim, o nosso t tem que dar uma volta completa:

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = - y ,   x       →

Como na parametrização que temos,   γ t = 6 cos ⁡ t ,   sin ⁡ t , x é a primeira entrada e y é a segunda... Basta substituir no campo vetorial:

F → γ t = - sin ⁡ t ,   6 cos ⁡ t

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

No caso a parametrização foi γ t = 6 cos ⁡ t ,   sin ⁡ t , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ t = 6 cos ⁡ t ,   sin ⁡ t             →               γ t = - 6 sin ⁡ t , cos ⁡ t

Logo...

d r → = - 6 sin ⁡ t , cos ⁡ t d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∮ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∮ C   F → x ,   y d r → = ∫ 0 2 π - sin ⁡ t ,   6 cos ⁡ t ∙ - 6 sin ⁡ t , cos ⁡ t d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 2 π 6 sin 2 ⁡ t +   6 cos 2 ⁡ t d t =

Colocando em evidência o 6 e lembrando que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ...

∫ 0 2 π 6 sin 2 ⁡ t +   cos 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π 6 d t =

6 2 π =

12 π

Resposta

12 π

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