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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.4a

Calcule ∫ γ F → ∙ d r → , nos seguintes casos:

(a) F → = x 2 + y 2 i → + 3 x y 2 j → ; γ é o círculo x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∫ γ F → ∙ d r → , da função F → = x 2 + y 2 i → + 3 x y 2 j → sobre a região γ , que é o círculo x 2 + y 2 = 9 .

Pra isso, precisamos lembrar que a integral de linha pode ser definida pela equação:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

Onde r → ' ( t ) é a derivada da parametrização da curva γ e F x t ,   y t é a nossa função vetorial aplicada na parametrização x ( t ) , y ( t ) .

Como temos uma circunferência, vamos usar as coordenadas polares, considerando o raio igual a 3 , para parametrizar:

x = 3 cos ⁡ t y = 3 sin ⁡ t

Com o ângulo t variando no intervalo [ 0 ,   2 π ] .

Vamos lá!

Passo 2

Usando as equações paramétricas do passo 1 , vamos escrever nosso vetor:

r → t = ( 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t )

Derivando, vamos ter:

r → ' t = ( - 3 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t )

Aplicando nossa função F → = x 2 + y 2 i → + 3 x y 2 j → na parametrização, temos:

F x t ,   y t = 3 cos ⁡ t 2 + 3 sin ⁡ t 2 ,   3 3 cos ⁡ t 3 sin ⁡ t

F x t ,   y t = ( 9 ,   81 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t )

Passo 3

Com as informações do passo anterior, vamos montar nossa integral de acordo com a fórmula:

∫ γ F → ∙ d r → = ∫ a b F x t ,   y t ∙ r → ' ( t ) d t

= ∫ 0 2 π 9 ,   81 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t ∙ - 3 sin ⁡ t , 3 cos ⁡ t   d t

Calculando o produto escalar entre os vetores do integrando, temos:

∫ 0 2 π - 27 sin ⁡ t + 243 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t   d t

Vamos separar essa soma em duas integrais pra nos ajudar a calcular:

∫ 0 2 π - 27 sin ⁡ t   d t + ∫ 0 2 π 243 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t   d t

Passo 4

Calculando a primeira integral, temos:

∫ 0 2 π - 27 sin ⁡ t   d t = - 27 - cos ⁡ t 0 2 π = 27 ( cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 )

= 27 1 - 1 = 0

Na segunda integral, vamos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ ( 4 t ) 8 . Aí calculando, temos:

∫ 0 2 π 243 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t   d t = 243 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ ( 4 t ) 8   d t

= 243 8 t - 1 4 sin ⁡ 4 t 0 2 π = 243 8 2 π - 1 4 sin ⁡ 8 π - 0 + 1 4 sin ⁡ 0

= 243 8 2 π - 0 = 243 π 4

Então, juntando as duas integrais de novo, nosso resultado será:

∫ 0 2 π - 27 sin ⁡ t   d t + ∫ 0 2 π 243 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t   d t = 0 + 243 π 4

= 243 π 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

243 π 4

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