UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo de Várias Variáveis - Lista 2 - Integral de Linha, Questão 2.2.8
Sob ação da força , um objeto percorre a elipse , no sentido anti-horário. Qual o trabalho realizado pelo campo ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o trabalho realizado pelo campo de forças sobre a elipse .
Pra isso, a gente precisa lembrar que o trabalho pode ser calculado através da integral de linha:
Essa é a integral de linha de um campo vetoria ao longo da curva parametrizada . Perceba que escrevemos o campo vetorial em função do parâmetro . Veja também que temos um produto escalar entre dois vetores, o que nos dará um número.
Então, temos que achar uma parametrização para a elipse, onde também vamos definir os intervalos de integração. Em seguida, fazemos o produto escalar entre os vetores e calculamos a integral do trabalho .
Vamos lá!
Passo 2
Galera, no geral, uma elipse do tipo:
Tem uma parametrização do tipo:
Esse intervalo significa que a elipse dá uma volta completa. No nosso caso, podemos escrever a equação da elipse na forma:
Então, e . Assim, temos a parametrização:
Ou seja, . Derivando esse vetor, vamos ter:
Passo 3
Além disso, para , usando a parametrização e , vamos ter:
Então, vamos montar nossa integral:
Fazendo o produto escalar entre os vetores do integrando:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Integrando:
Aplicando os limites de integração:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉