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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 10

10. Calcule ∫ γ E → d l → onde E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2 e γ t = t , 1 , t ∈ - 1,1 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2 ao longo do caminho γ t = t , 1 em que t ∈ - 1 , 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ E → d l → como

∫ γ E → d l → → ∫ a b E → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t , 1 então E → γ t será dado por

E → x , y = 1 x 2 + y 2 x i → + y j → x 2 + y 2 → E → γ t = 1 t 2 + 1 2 t i → + j → t 2 + 1 2

E → γ t = t t 2 + 1 3 , 1 t 2 + 1 3

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t d t , d 0 d t

γ ' t = 1 , 0

Substituindo E → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = - 1 e b = 1 ...

∫ γ E → d l → = ∫ a b E → γ t · γ ' t d t → ∫ - 1 1 t t 2 + 1 3 , 1 t 2 + 1 3 · 1,0 d t

∫ γ E → d l → = ∫ - 1 1 t t 2 + 1 3 d t

Calculando essa integral, temos

∫ t t 2 + 1 3 d t = - 1 t 2 + 1

Aplicando os limites de integração

∫ - 1 1 t t 2 + 1 3 d t = - 1 1 2 + 1 - - 1 - 1 2 + 1

∫ - 1 1 t t 2 + 1 3 d t = 0

Portanto, temos que

∫ γ E → d l → = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ γ E → d l → = 0

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