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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 8

8. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por γ t = t , t 2 . Ache o trabalho realizado pelo campo de forças F → x , y = x + y i → + x - y j → no deslocamento da partícula de γ 0 até γ 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a integral da função vetorial F → x , y = x + y , x - y ao longo do caminho γ t = t , t 2 em que t ∈ 0 , 1 .

Lembra como podemos fazer isso? 🤔

Para calcular uma integral de linha, podemos fazer uma adaptação na integral ∫ γ F → d r → como

∫ γ F → d r → → ∫ a b F → γ t · γ ' t d t

Assim, uma integral vetorial acaba se tornando uma integral escalar... o que certamente facilita muito a nossa vida.

Então o que temos que fazer é aplicar o caminho γ t na função F → , calcular a derivada de γ t e substituir na integral sabendo que t varia entre a e b ...

Parece mais fácil agora? 😉

Passo 2

Se γ t = t , t 2 então F → γ t será dado por

F → x , y = x + y , x - y → F → γ t = t + t 2 , t - t 2

Calculando a derivada de γ t , temos

γ ' t = d t d t , d t 2 d t

γ ' t = 1 , 2 t

Substituindo F → γ t e γ ' t na integral sabendo que a = 0 e b = 1 ...

∫ γ F → d r → = ∫ a b F → γ t · γ ' t d t → ∫ 0 1 t + t 2 , t - t 2 · 1 , 2 t d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 t + t 2 + 2 t 2 - 2 t 3 d t

∫ γ F → d r → = ∫ 0 1 t + 3 t 2 - 2 t 3 d t

Calculando essa integral, temos

∫ t + 3 t 2 - 2 t 3 d t = t 2 2 + t 3 - t 4 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 t + 3 t 2 - 2 t 3 d t = 1 2 2 + 1 3 - 1 4 2 - - 0 2 2 + 0 3 - 0 4 2

∫ 0 1 t + 3 t 2 - 2 t 3 d t = 1

Portanto, temos que

∫ γ F → d r → = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ γ F → d r → = 1

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