Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 7
(Cap.16.3 - Exercício 7) Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que
Passo 1
Fala aí glr, beleza?
Bom nossa questão deseja saber se o campo é conservativo ou não. Uma propriedade interessante do campo conservativo é que o trabalho independe da trajetória.
Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial .
Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!
Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se é:
Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:
Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:
E também:
Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!
Passo 3
Vamos primeiro pegar uma das funções, por exemplo e integrar em relação a :
Isso vai nos dar a função potencial mais uma função só de , digamos (pois derivando em relação à ela desaparece, sacou?):
Pronto! Essa é a função potencial!
Tá, mas e aquela função de ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!
Passo 4
Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à :
Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo a componente do campo dado:
E agora vamos igualar os dois lados!
Beleza! Agora integrando em relação à determinamos a função
Onde é uma constante qualquer.
Agora sim! Juntando com o resultado do passo temos a função potencial completa: