(Cap.16.3 - Exercício 7) Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = y e x + s e n y i → + e x + x c o s y j →

Passo 1

Fala aí glr, beleza?

Bom nossa questão deseja saber se o campo F → é conservativo ou não. Uma propriedade interessante do campo conservativo é que o trabalho independe da trajetória.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Então para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de acordo com a definição para um campo vetorial de conservação.

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ y e x + s e n y ∂ y = e x + c o s y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ e x + x c o s y ∂ x = e x + c o s y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das funções, por exemplo F x e integrar em relação a x :

∫ F x d x = ∫ y e x + s e n y d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma função só de y , digamos g y (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = y e x + x s e n y + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = e x + x c o s   y + g ' y

Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 2 a componente y do campo dado:

F y = e x + x c o s   y

E agora vamos igualar os dois lados!

e x + x c o s y = e x + x c o s y + g ' y

g ' y = 0

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

∫ g ' y d y = ∫ 0 d y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = y e x + x s e n y + g y

f = y e x + x s e n   y + C

Resposta

f = y e x + x s e n   y + C

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