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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

  1. Calcule ∫ C   3 x + 2 y d x + 3 x - y d y de ( 0 ,   0 ) a 1 ,   1 , ao longo
  1. do segmento de reta.

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   3 x + 2 y d x + 3 x - y d y , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y d r →

∫ C   3 x + 2 y d x + 3 x - y d y = ∫ C   F → x ,   y d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y = 3 x + 2 y ,   3 x - y  

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando.
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização.
  3. Encontrar o termo d r → .

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva C , mas por falar nisso, quem é a curva C ?

Como nos pediu o exercício, a curva é esse trechinho de reta que liga esses dois pontos, ( 0 ,   0 ) e 1 ,   1 :

Como sabemos, devemos parametrizar-la! Como C é uma reta... Toda reta pode ser parametrizada da forma

x = x 0 + a t

y = y 0 + b t

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é um ponto da reta... No caso pode ser o próprio ponto de saída ( 0 ,   0 ) ...

x = a t

y = b t

Quanto ao ( a ,   b ) , ele nada mais é do que o vetor de direção da retinha e pode ser encontrada fazendo a subtração do ponto de chegada pelo ponto de partida

a ,   b = 1 ,   1 - 0 ,   0

a ,   b = 1 ,   1

então, a = 1 e b = 1 ...

x = t

y = t

Logo, a parametrização da reta C de uma forma mais elegante...

γ 1 t = ( t ,   t )

Como y é t e y está variando do ponto inicial 0 ,   0   de y = 0 até o ponto final 1 ,   1 ...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = 3 x + 2 y ,   3 x - y         →

Lembrando que x = t e y = t ...

F → γ t = 3 t + 2 t ,   3 t - t       →

F → γ t = 5 t ,   2 t  

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

Como no caso a parametrização foi γ t = t ,   t , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ t = t ,   t             →               γ ' t = 1 ,   1

Logo...

d r → = 1 ,   1 d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ 0 1 5 t ,   2 t   ∙ 1 ,   1 d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 1 5 t ,   2 t   ∙ 1 ,   1 d t = ∫ 0 1 5 t + 2 t   d t =

∫ 0 1 7 t   d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

∫ 0 1 7 t   d t = 7 t 2 2 0 1 =

7 1 2 2 =

7 2

Resposta

a )   7 2

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