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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – P3 – Questão 4

Calcule a integral de linha ∫ C F ⋅ d r , onde F x , y = e x - 1 i ^ + x y j ^ e C é dada pela função vetorial r t = t 2 i ^ + t 3 j ^ ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função aqui

F x , y = e x - 1 i ^ + x y j ^

E pediu para calcularmos a integral de linha

∫ C F → ⋅ d r →

No caminho r t = t 2 i ^ + t 3 j ^ ,   0 ≤ t ≤ 1

Dentro da integral de linha não tem um produto escalar? Isso! Então vamos começar por ali! a função F → nós já sabemos que cara tem, mas e aquele d r → ? É o diferencial do caminho!

Então a ideia aqui é:

  • Calcular o vetor diferencial de caminho (vai estar em termos de t )
  • Identificar quem são x ( t ) e y ( t ) na função do caminho (uma dica: são as componentes dos vetores! A componente i ^ está relacionada com o x , e a componente de j ^   com a de y )
  • Depois de identificar x , y , substituir as expressões correspondentes em F → (assim vamos ter F → ( t ) )
  • Fazer o produto escalar entre F → e d r →
  • Colocar na integral de linha e calcular para 0 ≤ t ≤ 1 !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular primeiro o diferencial do caminho:

r t = t 2 i ^ + t 3 j ^

Derivando em relação a t :

d r → d t = 2 t i ^ + 3 t 2 j ^

d r → = 2 t   d t i ^ + 3 t 2 d t   j ^

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos identificar x ( t ) e y ( t ) no caminho:

r t = t 2 i ^ + t 3 j ^

x t = t 2 ,   y t = t 3

E substituir x   e   y em F → :

F x , y = e x - 1 i ^ + x y j ^

F x , y = e t 2 - 1 i ^ + t 5 j ^

Beleza?

Passo 4

Nossa missão agora é calcular o produto escalar entre F → e d r → :

F x , y = e t 2 - 1 i ^ + t 5 j ^

d r → = 2 t   d t i ^ + 3 t 2 d t   j ^

E agora o produto escalar entre eles:

F → ⋅ d r → = e t 2 - 1 ,   t 5 ⋅ 2 t   d t ,   3 t 2 d t = e t 2 - 1 2 t   d t + 3 t 7 d t

Beleza? Esse será nosso integrando!

Agora #partiu integrar!

Passo 5

Agora vamos integrar! Como nosso caminho está definido para 0 ≤ t ≤ 1 , esses serão nossos limites de integração! E o integrando? É o que calculamos no passo anterior:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 1 e t 2 - 1 2 t   d t + 3 t 7 d t

Ficamos com duas integrais! a primeira vamos resolver por substituição simples, fazendo u = t 2 - 1 e assim d u = 2 t   d t . Já a segunda integral é a integral de uma potência simples, é só aplicar a fórmula mesmo:

∫ 0 1 e t 2 - 1 2 t   d t + 3 t 7 d t = ∫ e u d u + 3 t 8 8 = e t 2 - 1 + 3 8 t 8

E por fim aplicar nos limites:

e t 2 - 1 + 3 8 t 8 0 1 = e 0 + 3 8 - e - 1 + 0 = 1 + 3 8 - 1 e

Assim nossa integral de linha tem esse valor:

∫ C F → ⋅ d r → = 11 8 - 1 e

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

11 8 - 1 e

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