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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

  1. Calcule ∫ C   x   d x + x 2   d y   de - 1 ,   0 a 1 ,   0 ao longo
  1. de C : r → t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t ,           0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   x   d x + x 2   d y , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y d r →

∫ C   x   d x + x 2   d y = ∫ C   F → x ,   y d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y = x ,   x 2

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Deveríamos aqui parametrizar essa curva, mas para a nossa alegria... Ela já está parametrizada !

r → t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t

Onde t varia...

0 ≤ t ≤ π

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = x ,   x 2       →

Como na parametrização que temos,   r → t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t , x é a primeira entrada e y é a segunda...

x = - cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Basta substituir no campo vetorial:

F → r → t = - cos ⁡ t ,   - cos ⁡ t 2   →

F → r → t = - cos ⁡ t , cos 2 ⁡ t

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = r → ' t d t

Como no caso a parametrização foi r → t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

r → t = - cos ⁡ t , sin ⁡ t             →               r → ' t = sin ⁡ t , cos ⁡ t

Logo...

d r → = sin ⁡ t , cos ⁡ t d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ 0 π - cos ⁡ t , cos 2 ⁡ t ∙ sin ⁡ t , cos ⁡ t d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ 0 π - cos ⁡ t , cos 2 ⁡ t ∙ sin ⁡ t , cos ⁡ t d t = ∫ 0 π - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t ⋅ cos ⁡ t d t =

∫ 0 π cos ⁡ t - sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

Se lembrarmos de que cos 2 ⁡ t = 1 - sin 2 ⁡ t ...

∫ 0 π cos ⁡ t - sin ⁡ t + 1 - sin 2 ⁡ t d t

podemos fazer uma substituição simples do tipo:

sin ⁡ t = u

pois

d u = cos ⁡ t d t

Não se esqueça de substituir também os limites heim!

t = 0             →                 u = sin ⁡ 0 = 0

t = π             →                 u = sin ⁡ π = 0

Epa! Os limites ficaram os mesmos, como a função é continua, nem precisamos terminar a integral para saber o resultado é:

∫ 0 π cos ⁡ t - sin ⁡ t + 1 - sin 2 ⁡ t d t = ∫ 0 0 - u + 1 - u 2   d u =

0

Resposta

b )     0

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