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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Stewart, James. Cálculo, volume 2, ed 7ª – Capítulo 16 – Seção 3 – Questão 3

(Cap.16.3 - Exercício 3) Determine se F → é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = 2 x − 3 y i → + − 3 x + 4 y − 8 j →

Passo 1

Fala aí pessoal, beleza?

Bom nossa questão deseja saber se o campo F → é conservativo ou não. Uma propriedade interessante do campo conservativo é que o trabalho independe da trajetória.

Tá, mais se ele for conservativo devemos encontrar a função escalar f . E o por que encontrar essa função escalar? Porque o campo conservativo é aquele que é gradiente de uma função potencial f .

Passo 2

Vamos verificar se esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 2 x − 3 y ∂ y = − 3

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ − 3 x + 4 y − 8 ∂ x = − 3

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 3

Vamos primeiro pegar uma das componentes da função e integrar em relação à sua variável, por exemplo F x e integrar em relação à x :

∫ F x d x = ∫ 2 x − 3 y d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g y (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x 2 − 3 y x + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 4

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = − 3 x + g ' y

Tá, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 2 a componente y do campo dado:

F y = − 3 x + 4 y − 8

E agora vamos igualar os dois lados!

− 3 x + 4 y − 8 = − 3 x + g ' y

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 4 y − 8

∫ g ' y d y = ∫ 4 y − 8 d y = 4 y 2 2 − 8 y = 2 y 2 − 8 y + C

g y = 2 y 2 − 8 y + C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x 2 − 3 y x + 2 y 2 − 8 y + C

Tudo bem, pessoal? Bora treinar mais então!

Resposta

f = x 2 − 3 y x + 2 y 2 − 8 y + C

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