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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

PUCRIO – Cálculo 3 – MAT1163 – 2020.2 – G3 – Discursiva

3 . Considere a linha poligonal fechada C de vértices P 1 = ( 2 ,   - 2 ) ,   P 2 = ( - 1 ,   - 2 ) ,   P 3 = ( - 1 ,   - 1 ) , P 4 = ( 1 ,   - 1 ) ,   P 5 = ( 1 ,   1 ) ,   P 6 = ( - 1 ,   1 ) ,   P 7 = ( - 1 ,   2 ) ,   P 8 = ( 2 ,   2 ) , percorridos no sentido anti-horário. Para o campo vetorial

F → = 2 x - 3 y i ^ + 2 x + 3 y j ^

Calcule

∫ C F → ⋅ t →   d l .

Passo 1

Vem comigo arrasar com essa questão!

Para calcularmos a integral de linha temos que parametrizar a curva C , ela tem a seguinte cara:

Só que é mais vantagem parametrizar cada segmento dessa curva e depois integrar um por um utilizando F → .

A integral geral fica seguinte forma:

∫ C F · t   d l = ∫ C 2 x - 3 y d x + 2 x + 3 y d y

Onde d x = x ' t   d t e d y = y ' t   d t , x ' ( t ) e y ' ( t ) são derivadas da parametrização dos seguimentos.

Como estamos mexendo com retas a parametrização vai consistir bem dizer de um dos termos variando em um intervalo e o outro constante.

Passo 2

Vamos primeiro parametrizar cada seguimento de C , lembrando que a curva é percorrida no sentido anti-horário, temos:

P 1 P 8 : x = 2 y = t   ,   - 2 ≤ t ≤ 2 portanto d x = 0 e d y = d t

P 8 P 7 : x = t y = 2   ,   - 1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = d t e d y = 0

P 7 P 6 : x = - 1 y = t   ,   1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = 0 e d y = d t

P 6 P 5 : x = t y = 1   ,   - 1 ≤ t ≤ 1 portanto d x = d t e d y = 0

P 5 P 4 : x = 1 y = t   ,   - 1 ≤ t ≤ 1 portanto d x = 0 e d y = d t

P 4 P 3 : x = t y = - 1   ,   - 1 ≤ t ≤ 1 portanto d x = d t e d y = 0

P 3 P 2 : x = - 1 y = t   ,   - 2 ≤ t ≤ - 1 portanto d x = 0 e d y = d t

P 2 P 1 : x = t y = - 2   ,   - 1 ≤ t ≤ 2 portanto d x = d t e d y = 0

Passo 3

Então a integral fica da seguinte forma:

∫ C 2 x - 3 y d x + 2 x + 3 y d y

= ∫ - 2 2 4 + 3 t d t + ∫ 2 - 1 2 t - 6 d t + ∫ 2 1 - 2 + 3 t d t + ∫ - 1 1 2 t - 3 d t + ∫ 1 - 1 2 + 3 t d t +

+ ∫ 1 - 1 2 t + 3 d t + ∫ - 1 - 2 - 2 + 3 t d t + ∫ - 1 - 2 2 t + 6 d t

Resolvendo essas integrais, temos:

4 t + 3 t 2 2 - 2 2 + t 2 - 6 t 2 - 1 + - 2 t + 3 t 2 2 2 1 + t 2 - 3 t - 1 1 + 2 t + 3 t 2 2 1 - 1 +

+ t 2 + 3 t 1 - 1 + - 2 t + 3 t 2 2 - 1 - 2 + t 2 + 6 t - 1 - 2

= 8 + 6 + 8 - 6 + 1 + 6 - 4 + 12 + - 2 + 3 2 + 4 - 6 + 1 - 3 - 1 - 3 +

+ - 2 + 3 2 - 2 - 3 2 + 1 - 3 - 1 - 3 + 4 + 6 - 2 - 3 2 + 4 - 12 - 1 + 6

Passo 4

Então temos o seguinte:

16 + 15 - 2,5 - 6 - 4 - 6 + 6,5 - 3 = 16

Esse é o resultado da nossa integral!

Resposta

∫ C 2 x - 3 y d x + 2 x + 3 y d y = 16

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