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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y , onde C é o triângulo com vértices nos pontos ( 0,0 ) , ( 1,0 ) e ( 1,2 ) .

Passo 1

A nossa função vai ser

x y d x + x 2 y 3 d y ⇒ F x , y = x y , x 2 y 3

Temos 3 segmentos de reta, então vamos fazer

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

Onde C 1 é o lado que liga 0,0 com 1,0 ; C 2 é o lado que liga 1,0 com 1,2 ; C 3 é o lado que liga 1,2 com 0,0 , assim vamos rodar no sentido anti-horário.

Vamos começar com

∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de x , então a parametrização vai ser

σ 1 → = ( x , 0 )

Com x indo de 0 à 1 , tendo 0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora calculamos σ 1 → ' t :

σ 1 → ' x = d x d x , d 0 d x = ( 1,0 )

Passo 3

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 1 → ' x e escrevendo F em função de x :

∫ C 1   F . d r = ∫ a b F x x ,   y x . σ 1 → ' x d x

∫ 0 1 x . 0 , x 2 0 3 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0,0 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0 d x =

= 0

Passo 4

Vamos ver a segunda agora

∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de y , então a parametrização vai ser

σ 2 → = ( 1 , y )

Com y indo de 0 à 2 , tendo 0 ≤ y ≤ 2

Passo 5

Agora calculamos σ 2 → ' y :

σ 2 → ' y = d 1 d y , d y d y = ( 0,1 )

Passo 6

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 2 → ' x e escrevendo F em função de y :

∫ C 2   F . d r = ∫ a b F x y ,   y y . σ 2 → ' y d y

∫ 0 2 1 . y , 1 2 y 3 . 0,1 d y =

= ∫ 0 2 y , y 3 . 0,1 d y =

= ∫ 0 2 y 3 d y =

= y 4 4 y = 0 2 =

= 2 4 4 - 0 = 16 4 = 4

Passo 7

Vamos ver a terceira agora

∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos fazer uma malandragem, é mais fácil parametrizar essa reta indo de 0,0 a 1,2 do que o contrário.

Vamos fazer o caminho no sentido contrário e trocamos o sinal da parametrização

A reta vai ser

y = 2 x

A parametrização vai ficar

σ 3 = x , 2 x

Aqui vamos ter x indo de 0 até 1 , então 0 ≤ x ≤ 1

Passo 8

Agora calculamos σ 3 → ' x :

σ 3 → ' x = d x d x , d 2 x d x = 1,2

Passo 9

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 3 → ' x e escrevendo F em função de x :

∫ C 2   F . d r = - ∫ a b F x x ,   y x . σ 3 → ' x d x

Lembra que esse menos aparece porque a parametrização tem sentido contrário ao que ele pediu.

⇒ - ∫ 0 1 x ∙ 2 x , x 2 2 x 3 . 1,2 d x =

⇒ - ∫ 0 1 2 x 2 , 8 x 5 . 1,2 d x =

⇒ - ∫ 0 1 2 x 2 + 16 x 5 d x =

⇒ - 2 x 3 3 + 16 x 6 6 x = 0 1

⇒ - 2 ∙ 1 3 3 + 16 ∙ 1 6 6 - 2 ∙ 0 3 3 + 16 ∙ 0 6 6

⇒ - 2 3 + 16 6 - 0 + 0

⇒ - 2 3 + 8 3 - 0

⇒ - 10 3

⇒ - 10 3

Passo 10

Agora que temos as três integrais é só substituir

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = 0 + 4 + - 10 3

⇒ 4 - 10 3

⇒ 12 - 10 3

⇒ 2 3

Resposta

2 3

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