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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

  1. Calcule ∫ C   x   d x + x 2   d y   de - 1 ,   0 a 1 ,   0 ao longo
  1. do eixo x

Passo 1

Bem, antes do começarmos qualquer coisa, vamos colocar essa integral de linha de uma forma mais elegante.

Como você já pode notar, a integral de linha está assim ∫ C   x   d x + x 2   d y , certo? Só que esse formato é apenas outra forma de falar que estamos trabalhando uma integral de linha de um campo de vetores: ∫ C   F → x ,   y d r →

∫ C   x   d x + x 2   d y = ∫ C   F → x ,   y d r →

Onde esse F → x ,   y é o vetor...

F → x ,   y = x ,   x 2

Se buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:

  1. Parametrizar a curva C que estamos trabalhando
  2. Substituir os termos do campo vetorial F → x ,   y pelos termos da parametrização
  3. Encontrar o termo d r →

Então vem comigo nessa aventura! :D

Passo 2

Vamos então parametrizar a curva C , mas por falar nisso, quem é a curva C ?

Como nos pediu o exercício, a curva é esse trechinho de reta que liga esses dois pontos passando em cima do eixo x :

Essa curva pode ser parametrizada lembrando-se que esse eixo tem equação y = 0 e o termo x , livre:

x = t

y = 0

então, uma boa parametrização é

γ t = t ,   0

Onde o t no caso, como ele é igual ao x , ele varia entre os dois pontos

O primeiro, de x = - 1 até ao segundo ponto de x = 1 ...

- 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Beleza! Agora devemos prosseguir substituindo no campo vetorial F → x ,   y , esse x e y pelos termos da parametrização:

F → x ,   y = x ,   x 2       →

Lembrando que x = t ...

F → γ t = t ,   t 2

Passo 4

Para encontrar o termo d r → , basta sabermos que facilmente o encontramos fazendo:

d r → = γ ' t d t

Como no caso a parametrização foi γ t = t ,   0 , derivando cada termo do vetor em relação a t ...

γ t = t ,   0             →               γ ' t = 1 ,   0

Logo...

d r → = 1 ,   0 d t

Passo 5

Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando

∫ C   F → x ,   y d r →

e substituir todos os dados que obtivemos...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ - 1 1 t ,   t 2 ∙ 1 ,   0 d t

Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!

∫ - 1 1 t ,   t 2 ∙ 1 ,   0 d t = ∫ - 1 1 1 ⋅ t +   0 ⋅ t 2   d t =

∫ - 1 1 t   d t

Agora basta que resolva a integral e corra para o abraço!

∫ - 1 1 t   d t = t 2 2 - 1 1 =

1 2 2 - - 1 2 2 =

1 2 - 1 2 = 0

Resposta

a )     0

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