Passo 1
Vamos usar a definição da derivada nesse ponto ! A definição seria esse limite aqui:
Ele vai acabar sendo feito com dois limites laterais em relação a . Com isso, queremos calcular os seguintes limites:
Passo 2
Resolvemos o primeiro limite:
Passo 3
O segundo sai com um produto notável de terceiro grau:
Passo 4
A gente conclui, com isso, que os limites das derivadas se igualam! Assim, fica o seguinte:
O que nos diz que a função é derivável em .
Passo 5
Sabendo que um dos requisitos para uma função ser diferenciável é que ela seja contínua, nós garantimos que ela será contínua em , já que ela é derivável nesse ponto. Dado que a função é contínua nesse ponto de mudança e não tem nenhuma descontinuidade nos dois domínios, nós podemos garantir que a função é contínua para todo !