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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja derivável.

  1. f(x) = a x + b                 s e   x < 1 , - x 2 + 5 x     s e   x   ≥ 1 .

Passo 1

Fala, galerinha. Tudo certo?! Espero que sim, então vamos partir para mais um probleminha. Para essa questãozinha vamos ter que trabalhar algumas definições, entre elas a de continuidade e a de diferenciabilidade, ou derivabilidade.

Pois bem, para uma função f(x) ser contínua em um ponto, que para essa questão é o ponto x=1, é necessário que:

lim x → 1 - ⁡ f x =   l i m x → 1 +   f x = f ( 1 )

Certo, agora vamos procurar o f(1), para isso vamos utilizar f(x) = - x 2 + 5 x , pois a função assume esse valor para valores de x maiores ou iguais a 1, logo:

f(x) = - x 2 + 5 x   →   f(1) = - 1 2 + 5.1   = 4

Passo 2

Beleza, encontramos o valor de f(1), então vamos calcular os limites laterais de f(x) para o ponto x=1:

  • l i m x → 1 - f x =   l i m x → 1 - ( a x + b ) →     Utilizamos a eq. da reta, pois, para x → 1 - os valores que x

    • assume são menores que 1.

                                  l i m x → 1 - ( a x + b ) = a + b → Podemos substituir diretamente o valor de x, pois a eq. da reta é um

    polinômio, ou seja, uma função contínua.

  • l i m x → 1 +   f x =   l i m x → 1 +   - x 2 + 5 x   → Utilizamos essa outra função, pois, é a função que

    • representa quando   x ≥ 1 .

    l i m x → 1 +   - x 2 + 5 x =   - 1 2 + 5.1 = 4

    Legal, agora que nós temos os limites laterais, para que essa função seja contínua esses limites precisam ser iguais, logo:

    l i m x → 1 - f x =   l i m x → 1 +   f x  

    a + b = 4 (Condição de continuidade)

    Passo 3

    Belezinha, até agora tratamos, somente, da condição de continuidade, então vamos trabalhar com a derivabilidade. Portanto a f(x) tem que ser derivável em x=1, e para que isso aconteça vamos utilizar a definição de derivadas para calcular os limites laterais e eles também têm que coincidir.

  • f ' - 1 =   l i m h → 0 -   f 1 + h - f ( 1 ) h

    • Para esse limite onde h → 0 - , f(1+h) será a função ax + b , pois, (1+h)

                     

    l i m h → 0 - ( a 1 + h + b ) - 4 h = l i m h → 0 - a h + a + b - 4 h =   l i m h → 0 - a h + 4 - 4 h =   l i m h → 0 - a h h =   l i m h → 0 - a = a

  • f ' + 1 =   l i m h → 0 +   f 1 + h - f ( 1 ) h

Já para esse limite a função será a outra, - x 2 + 5 x , pois, (1+h) > 1, uma vez que h → 0 + .

l i m h → 0 +   f 1 + h - f ( 1 ) h = l i m h → 0 +   - 1 + h 2 + 5 1 + h - 4 h = l i m h → 0 +   - 1 + h 2 + 5 1 + h - 4 h =

l i m h → 0 +   - 1 + 2 h + h 2 + 5 + 5 h - 4 h =   l i m h → 0 +   - 1 + 2 h + h 2 + 5 + 5 h - 4 h =   l i m h → 0 +   - 1 - 2 h - h 2 + 5 + 5 h - 4 h =

l i m h → 0 +   3 h - h 2   h =   l i m h → 0 +   h ( 3 - h )   h =   l i m h → 0 +   3 - h = 3

Passo 3

Estamos quase lá, galerinha kkkkk. Vamos com calma, essa questão não é difícil, talvez um pouco trabalhosa, mas bora pra frente. Certinho, encontramos as derivadas laterais, e como é de nosso conhecimento, sabemos que para que uma derivada exista, suas derivadas laterais precisam ser iguais. Logo:

f ' - 1 =   f ' + 1

a = 3

Beleza, está quase tudo finalizado. Agora já temos o valor de a, e pela condição de continuidade dessa função, sabemos que:

a + b = 4

3 + b = 4

b = 1

Finalmente kkkkk, achamos os valores de a e b para que a função f seja derivável.

Resposta

b) a = 3 e b = 1.

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