Associe V para verdadeiro e F para falso nos seguintes itens:
Considere
Onde e são constantes reais.
(I) Para e , a função é contínua em .
(II) Para quaisquer , , com , é contínua em .
(III) Para quaisquer , com , é diferenciável em .
(IV) Somente quando , é diferenciável em .
(V) Somente quando , é diferenciável em .
Passo 1
Legal, vamos ver cada uma das afirmações e analisar se são verdadeiras ou falsas. Para , vamos substituir os valores propostos:
Vamos determinar a continuidade em agora. Para que seja contínua, precisamos que:
Assim, vamos calcular cada um para verificar essa igualdade:
Como é a expressão para , substituímos essa expressão no limite pela direita, que nada mais é o limite para valores maiores que .
Como é a expressão para , substituímos essa expressão no limite pela esquerda:
Substituindo os valores:
Como a igualdade acima é falsa, concluímos que a função não é contínua e a afirmação I é falsa!
Passo 2
Novamente, para a afirmação , vamos considerar a continuidade, mas agora para o valor geral:
Para que seja contínua em :
Assim, vamos calcular:
Assim, temos a igualdade:
Se , como proposto na afirmativa , então:
A igualdade é verdadeira, e, portanto, a função é contínua em . Logo, a afirmativa é correta!
Passo 3
Agora precisamos determinar se a função é diferenciável em . Para que seja diferenciável, precisamos que a derivadas laterais sejam iguais:
Vamos calculá-las então:
Assim:
Da mesma forma:
Assim:
Portanto, pela desigualdade:
Segundo a afirmação , se:
Então, dividindo por
Substituindo isso na igualdade das derivadas laterais:
Mas cuidado, a função só será diferenciável quando for contínua. E só será contínua quando . Dessa maneira temos o sistema:
Ou seja, precisamos de e tal que e, além disso, . Logo, a afirmativa é falsa!
Passo 4
Vamos agora para a afirmativa : Somente quando , é diferenciável em .
Substituindo os valores propostos:
Substituindo na igualdade das derivadas laterais:
Como a igualdade não é verdadeira, não será também!
Passo 5
Finalmente, chegamos na afirmativa : Somente quando , é diferenciável em .
Substituindo os valores propostos:
A igualdade fica:
Conforme vimos no passo 3, precisamos também que:
Substituindo:
Que é verdade. Logo, esses valores satisfazem ambas condições para a função ser diferenciável, mas precisamos garantir que é a única solução. Porém, como temos duas equações que não são múltiplas uma da outra e duas incógnitas e , só existirá UMA solução, e portanto, o “somente” é garantido e a afirmativa é verdadeira!
Resposta
Falso, Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro.