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A função é derivável em ? JUSTIFIQUE!

Seguinte, vê se você concorda: para ser derivável ali eu tenho que garantir que ela é contínua e aí então que ela tem condições de ser derivada.

Para ser contínua, devo garantir que os limites laterais em sejam iguais a , pois eu sei da função que . Ou seja, quero calcular isso aqui e ver se zera:

Bom, vamos calcular um limite de cada vez:

Quanto ao , sabemos que ele está sempre entre . Logo, podemos garantir pelo Teorema do Confronto:

Logo, se esse limite é zero e , a função é contínua. Para vermos, então, se a função é derivável, analisamos ela no ponto , já que no resto do domínio manda uma função que é composta por outras deriváveis e é, portanto, derivável. Temos dois jeitos para ver se a função é derivável nesse ponto: podemos derivar a função e ver se esse termo tendendo a zero também zera, o que faria com que a derivada da função em volta de fosse igual à da função nesse ponto (lembrando que onde temos ) ou aplicamos a definição de derivada nesse ponto e vemos se zera, pelo mesmo motivo da primeira opção ter que zerar. Como ele nos pede o cálculo da derivada por si só no item , ele provavelmente está nos cobrando que façamos do segundo jeito, pela definição:

Faço a mesma conta com o cosseno que fiz da outra vez e separo como seno do mesmo jeito:

Todos os termos ali são iguais, menos o do denominador do seno. Se eu multiplicar por em cima e embaixo tiro ele por uma malandragem maneira:

Repara que , olha isso:

Agora eu tenho só um limite fundamental, dois que eu conheço e um que vai pelo Teorema do Confronto. Acabou:

Logo, é derivável em !