Determine , e , onde
Passo 1
Temos uma função definida em intervalos diferentes, isso é importante para fazer as derivadas. Para derivá-la, precisamos ver onde ela será derivável.
Em se tratando de polinômios, eles são deriváveis em todo o seu domínio. Com isso, o problema vai morar sempre em . Temos que observar se aí ele será derivável ou não, e podemos fazer isso analisando as derivadas laterais pelo método apresentado na teoria de Derivadas Laterais.
Passo 2
Vamos começar fazendo a continuidade:
Contínua!
A boa é derivar a função agora e ver se as derivadas laterais batem:
Aplicando às derivadas laterais, ficamos com:
É, a derivada aí converge para .
A nossa derivada vai ser
Passo 3
Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor. Se queremos derivar a função
Pelo mesmo método do Passo precisamos que a função a ser derivada, seja contínua em para depois derivá-la lateralmente. Já vimos que a derivada primeiro converge para um valor, . Com isso, já podemos derivá-la e analisa-la lateralmente
Não sei ainda se existe derivada em , por isso não o coloquei ali
Aplicando às derivadas laterais, ficamos com:
Não dão o mesmo resultado, então não será derivável em
Vamos ter como resultado final
Passo 4
Agora vamos para a terceira derivada, lembra que a terceira derivada é derivar ? Então tudo isso que pensamos antes vai valer do mesmo jeito, nos dois intervalos que ele definiu fazemos a derivada normalmente.
Só que dessa vez não vamos fazer a terceira derivada em , isso porque sempre que uma derivada não existe, ela não vai existir para nenhuma ordem depois dela.
Não entendeu? Não existe segunda derivada para , isso vai nos dizer que não existe terceira derivada nesse ponto, nem quarta derivada, nem quinta, nem sexta, nem sétima e por aí vai. Entendeu? Não temos um valor para usar na definição, então ele também não existe.
Vamos ter derivando, portanto: