5) Considere a função:
Determine os valores de e que fazem com que seja derivável no ponto .
Passo 1
Pra começar a falar de diferenciabilidade de funções definidas por partes, temos que pensar primeiro no seguinte: dá pra ser diferenciável sem ser contínua? É, não rola né? Então vamos testar a continuidade da função em :
Pra valores menores que , a lei de formação é . Logo:
Pra valores maiores ou iguais a , usamos a outra lei de formação, beleza? Sendo assim:
Resolvendo essas igualdades, temos:
Ou seja:
Passo 2
Ok, isso ainda não responde nossa questão, só nos dá uma condição pra trabalhar. Como é uma condição com duas variáveis, a gente provavelmente vai achar outra condição pra comparar e fazer um sistema em!
Vamos pensar na diferenciabilidade agora: funções definidas por partes diferenciáveis tem derivadas laterais iguais! Sendo assim, derivando
E comparando as derivadas laterais:
Viu só! Achamos outra condição! Sabendo já, achamos :
Sendo assim, para que seja diferenciável, temos que ter os valores: