Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).
Passo 1
A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para , somada à análise de sua possível derivada em .
Passo 2
Assim, começamos calculando essa derivada para valores fora de (com a Regra do Produto e da Cadeia):
Passo 3
Olhamos agora para . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto, fazendo as derivadas laterais pelo método .
Começamos com a continuidade:
Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!
Logo,
Do enunciado temos que:
É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la
Passo 4
Vamos na derivação agora. Do passo tínhamos:
Em a função não está definida, pois dá ruim. Porém, podemos aplicar o teorema do confronto, vem comigo!
Para a primeira parcela, temos
Já para a segunda parcela,
Assim,
Então, a função será derivável em ! Teremos nesse ponto.
Passo 5
Organizando tudo, teremos a derivada de dada por: