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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de a e b de modo que f seja derivável.

  1. f(x) = x 2                   s e   x < 1 , a x + b     s e   x   ≥ 1 .

Passo 1

Fala, galerinha. Tudo certo?! Espero que sim, então vamos partir para mais um probleminha. Para essa questãozinha vamos ter que trabalhar algumas definições, entre elas a de continuidade e a de diferenciabilidade, ou derivabilidade.

Pois bem, para uma função f(x) ser contínua em um ponto, que para essa questão é o ponto x=1, é necessário que:

lim x → 1 - ⁡ f x =   l i m x → 1 +   f x = f ( 1 )

Certo, agora vamos procurar o f(1), para isso vamos utilizar f(x) = a x + b , pois a função assume esse valor para valores de x maiores ou iguais a 1, logo:

f(x) = a x + b   →   f(1) = a . 1 + b = a + b

Passo 2

Beleza, encontramos o valor de f(1), então vamos calcular os limites laterais de f(x) para o ponto x=1:

  • l i m x → 1 - f x =   l i m x → 1 - ( x 2 ) →     Utilizamos essa função, pois, para x → 1 - os valores

    • que x assume são menores que 1.

                                  l i m x → 1 - ( x 2 ) = 1 2 = 1 → Podemos substituir diretamente o valor de x, pois a função

    é um polinômio, ou seja, uma função contínua.

  • l i m x → 1 +   f x =   l i m x → 1 +   a x   + b   → Utilizamos essa outra função, pois, é a função que

    • representa quando   x ≥ 1 .

    l i m x → 1 +   a x + b =   a . 1 + b = a + b

    Legal, agora que nós temos os limites laterais, para que essa função seja contínua esses limites precisam ser iguais, logo:

    l i m x → 1 + f x =   l i m x → 1 -   f x  

    a + b = 1 (Condição de continuidade)

    Passo 3

    Belezinha, até agora tratamos, somente, da condição de continuidade, então vamos trabalhar com a derivabilidade. Portanto a f(x) tem que ser derivável em x=1, e para que isso aconteça vamos utilizar a definição de derivadas para calcular os limites laterais e eles também têm que coincidir.

  • f ' - 1 =   l i m h → 0 -   f 1 + h - f ( 1 ) h

    • Para esse limite onde h → 0 - , f(1+h) será a função x 2 , pois, (1+h)

                     

    l i m h → 0 - 1 + h 2 - a + b h = l i m h → 0 - 1 + 2 h + h 2   – 1 h =   l i m h → 0 - h 2 + 2 h h =   l i m h → 0 - h h + 2 h = l i m h → 0 - h + 2

    l i m h → 0 - h + 2 = 0 + 2 = 2

  • f ' + 1 =   l i m h → 0 +   f 1 + h - f ( 1 ) h

Já para esse limite a função será a outra, a x + b , pois, (1+h) > 1, uma vez que h → 0 + .

l i m h → 0 +   f 1 + h - f ( 1 ) h = l i m h → 0 +   a 1 + h + b - ( a + b ) h = l i m h → 0 +   a + a h + b - ( a + b ) h =

l i m h → 0 +   a h h =   l i m h → 0 +   a = a

Passo 3

Estamos quase lá, galerinha kkkkk. Vamos com calma, essa questão não é difícil, talvez um pouco trabalhosa, mas bora pra frente. Certinho, encontramos as derivadas laterais, e como é de nosso conhecimento, sabemos que para que uma derivada exista, suas derivadas laterais precisam ser iguais. Logo:

f ' + 1 =   f ' - 1

a = 2

Beleza, está quase tudo finalizado. Agora já temos o valor de a, e pela condição de continuidade dessa função, sabemos que:

a + b = 1

2 + b = 1

b = -1

Finalmente kkkkk, achamos os valores de a e b para que a função f seja derivável.

Resposta

b) a = 2 e b = -1.

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