Derivadas de Ordem Superior
Seja .
- Calcule
- Se calcule
Passo 1
Usando a regra do produto, nossa derivada primeira é
Beleza, agora pra fazer essa “derivada da segunda”, precisaremos usar a regra da cadeia 2 vezes.
Primeira vez:
Segunda vez:
Ficamos então com
Passo 2
Agora vamos considerar que é uma função de . Assim, nossa função passa a ser uma função composta.
Para derivar funções compostas, usamos a regra da cadeia.
E, para nossa alegria, nós já calculamos na letra , então é só substituir aí. E a gente não tem como calcular porque não sabemos a expressão de , então é só deixar indicado.
Assim:
Passo 3
Mas, ainda precisamos derivar isso novamente.
Para isso, vamos usar a regra do produto:
Antes de continuar, vamos abrir um parênteses aqui:
(“Ai meu Deus, de onde saiu esse monte de ????” Calma! Esse “monte” na verdade são só dois. Um aparece porque estamos derivando as funções que tem , mas também é função de , então também precisa ser derivado. É a regra da cadeia. E o segundo, que está fora dos parênteses vem da regra do produto: derivada do primeiro, vezes o segundo sem derivar. Ele é esse ‘segundo sem derivar’)
Encerrando nosso parênteses, vamos continuar...
Colocando em evidencia:
Resposta
- Temos:
- Temos: