UFRJ – Cálculo 1 – Lista 3 – Questão 7
Considere a função
A função é diferenciável em É contínua em
Passo 1
Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?
Vamos partir do conceito de diferenciabilidade e continuidade. Para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.
Uma coisa que deve lembrar SEMPRE: Funções que NÃO SÃO CONTÍNUAS em um certo ponto, AUTOMATICAMENTE TAMBÉM NÃO SÃO DIFERENCIÁVEIS NESSE PONTO. Agora, se a função for contínua ela pode ou não ser diferenciável.
Passo 2
Para conferirmos se uma função é contínua ou não, devemos verificar alguns pontos, sendo eles:
- Se a função está definida;
- Verificar se o limite da função no ponto x = a existe;
- Como o limite existe, devemos conferir se ;
Considerando isso, começaremos vendo se a função está definida, note que temos uma função onde ela tem duas leis de formação dependendo do tipo de intervalo que estivermos escolhendo. Nesse caso, estamos avaliando em , ou seja,
Note que ao substituirmos , temos que , ou seja, ela existe!!
Passo 3
Sendo assim vamos conferir a próxima afirmação, se o limite existe, para que o limite exista os limites laterais devem ser iguais.
Vamos fazer as aproximações
Opa, temos valores diferentes, logo ela não é contínua, considerando isso também não é diferenciável neste ponto.
Resposta
não é contínua e nem diferenciável em