UFSC – 2017.2 – P1 – 2° Chamada
Considere a função dada por
- A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.
- Encontre a função para todo valor de no qual é diferenciável.
Passo 1
Bom, pessoal, essa questão parece grande, mas nós somos maiores! Vem comigo!
A letra “a” nos pergunta se a função é diferenciável no domínio dos reais, mas como vamos saber se ela é ou não é. É simples, como essa função é definida em duas partes, uma quando e outra quando , vamos verificar se ela é contínua nesse ponto, ou seja, vamos verificar se:
Pra ser diferenciável, ela precisa ser contínua.
Passo 2
Começando pelo limite para valores maiores que :
Você concorda comigo que a função seno sempre está entre os valores de e :?
Logo se multiplicamos essa função por , pelo seno e pelos dois podemos aplicar nos dois limites que o seno pode assumir, a desigualdade acima fica bem assim:
Vamos começar calculando o limite pela direita, ou seja, usando valores de x maiores do que 1.
Se colocarmos no lugar de um valor maior que , mas ao mesmo tempo muito MUITO próximo de , você concorda que vai ser praticamente zero?
VocÊ concorda se colocarmos um valor no lugar de maior que , mas ao mesmo tempo muito próximo de , nós chegaremos próximos a zero:
Logo, multiplicando esses limitesos limites do seno por zero, na desigualdade, temos:
Logo, se estamos entre zeros, quer dizer que nosso limite é igual a zero. Mas cuidado que esse é apenas o limite quando tende a 1 pela direita::
Passo 3
Vamos fazer o limite pelo outro lado:
Vamos repetir essa técnica de sanduíche com o seno:
Mas no caso de nos aproximarmos de pela esquerda, dessa vez vamos pegar valores menores que Se colocarmos no lugar de um valor menor que , mas também muito MUITO próximo de 1, vamos achar um valor para quase igual a zero e negativo.
Mas no caso de nos aproximarmos de , dessa vez por valores menores que , nós descobrimos que teremos um valor menor que zero elevado ao quadrado:
Mas como estamos elevando um número negativo ao quadrado, ele se torna um valor bem pequeno positivo. Mas o que importa mesmo é que ele é tão tão pequeno que a gente pode igualar a zero., e Então chegamos a mesma conclusão do limite através de valores maiores que :
Então:
Então nosso limite de tendendo a 1 pela esquerda, se torna:
Nosso limite se torna:
Passo 4
Bom nós calculamos os limites: pela esquerda e pela direita e eles são iguais entre si e iguais a zero:
Mas temos que ver se bate com o valor da função no ponto de . E bate, pois o próprio enunciado já diz pra gente que:
Como temos que os limites coincidem com o valor da função nesse ponto de interesse:
Então a função é contínua e assim, ela é diferenciável em todo espaço dos números reais.
Passo 5
Agora vamos fazer a letra “b”, ele nos pede o valor da derivada da função para todo o espaço onde ela é diferenciável. Como essa função é definida em duas partes, vamos derivar essas duas partes, começando quando :
Olha bem, temos uma função que tem um valor constante nesse ponto, como sabemos a derivada de um valor constante é igual a zero, então:
Foi molezinha? Agora vamos derivar a outra parte quando é diferente de !
Passo 6
Pessoal, qual é o valor da função quando ? Esse aqui:
Bom, agora é arregaçar as mangas e encontrar . Veja que temos o produto de duas funções de
Então precisamos usar a Regra do Produto:
Olhando para essas derivadas individualmente, vemos que ambas tem funções de dentro de outra função, então vamos usar a Regra da Cadeia:
Agora para a derivada da função seno:
Substituindo essas derivadas na Regra do Produto:
Agora é hora de simplificar essa expressão:
Quando multiplicamos:
Podemos cortar os termos que se repetem no numerador e no denominador:
Então substituindo na nossa expressão:
Então chegamos na expressão final igual a:
Então a derivada da função também é dada em partes:
Resposta
- É derivável.