- Considere as funções f e g definidas abaixo.
Usando a definição, verifique que f é derivável (e, portanto, contínua) em . Verifique em seguida que g é contínua em mas não é derivável nesse mesmo ponto.
Passo 1
Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de funções.
Primeiramente, dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) em um ponto se ela satisfaz a seguinte condição
for um limite que existe.
O conceito de continuidade de uma função nos diz que uma função é contínua em um ponto se
- Existir
Passo 2
Vamos agora observar a função que nós temos.
Aqui podemos usar inicialmente a definição de diferenciabilidade. Logo, para se derivável em ,
Não podemos calcular esse limite diretamente e, por isso, usaremos Teorema do Confronto. Para isso, usaremos a seguinte relação,
Calculando o limite das funções mais à esquerda e mais à direita temos
e
Como, tanto a função maior () como a função menor() convergem para 0 quando , o teorema do confronto nos garante que a função que queremos analisar também converge para 0.
Assim,
E, como mostramos que esse limite existe, já que é igual a 0, mostramos que é diferenciável em e, portanto, contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos avaliar nossa função .
Aqui vamos primeiro analisar a continuidade da função . Assim,
Portanto podemos concluir que é contínua em .
Temos que verificar a diferenciabilidade, ou não, de em . Então, aplicando a definição, temos,
Como esse limite não existe, podemos dizer que apesar da função ser contínua em , ela não é derivável nesse ponto.
Então é isso, galeraa, por enquanto é só. Até a próxima.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)