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Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

Determine valores de a e b , tais que

g x = x 3 + 2 x 2 + a x + b + 1 , s e   x ≤ 0 , a cos ⁡ x + 2 b sen ⁡ x , s e   x > 0 .

seja diferenciável em x 0 = 0 .

Passo 1

Antes de mais nada, pra g ser diferenciável em x 0 = 0 , ela precisa ser contínua nesse ponto.

Os limites laterais em 0 devem ser iguais:

lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 + ⁡ g x

Então vamos calcular esses limites laterais.

  • Para x → 0 - , temos g x = x 3 + 2 x 2 + a x + b + 1 , então:

    • lim x → 0 - ⁡ g x = 0 + 0 + 0 + b + 1 = b + 1

  • Para x → 0 + , vale a outra definição pra função: g x = a cos ⁡ x + 2 b sen ⁡ x :

    • lim x → 0 + ⁡ g x = a . 1 + 2 b . 0 = a

    Logo, devemos ter:

    b + 1 = a

    Passo 2

    Ok, então contanto que b + 1 = a , garantimos que g é contínua em x 0 = 0 .

    Mas isso não basta pra ela ser diferenciável, as derivadas laterais também têm que ser iguais!

    g ' 0 - = g ' 0 +

  • A derivada pela esquerda é:

    • g ' x - = 3 x 2 + 4 x + a

    → g ' 0 - = 0 + 0 + a = a

  • A derivada pela direita é:

g ' x + = - a sen ⁡ x + 2 b cos ⁡ x

→ g ' 0 + = - a . 0 + 2 b . 1 = 2 b

Então devemos ter

a = 2 b

Passo 2

Ótimo, obtivemos 2 equações para 2 incógnitas:

a = b + 1 a = 2 b

Mamãozinho com açúcar pra resolver, né?

b + 1 = 2 b ⇒ b = 1

⇒ a = 2

Pronto! Essas são as condições pra g ser diferenciável em x 0 = 0 .

Resposta

a = 2

b = 1

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