Derivadas de Ordem Superior
Calcule para a função do ex. 10. da Lista 7.
Passo 1
A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para , somada à análise de sua possível derivada em .
Assim, Começamos calculando essa derivada para valores fora de (com a Regra do Produto e da Cadeia):
Passo 2
Olhamos agora para . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto.
Começamos com a continuidade:
Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!
Logo,
Onde temos que, do enunciado:
É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la
Passo 3
Vamos na definição da derivada agora:
Para esse limite, o mesmo esquema: Teorema do Confronto!
os usar o Teorema do Confronto!
Então, a função será contínua em sim! Valerá nesse ponto.
Organizando tudo, teremos a derivada de dada por:
Passo 4
OBS.: Repara que aplicando em não obtemos
No primeiro termo:
No segundo termo:
Se for um valor que não zere o cosseno, teremos uma constante sobre , que vai para .
Se zerar o cosseno, podemos aplicar L’Hospital e ver que, ainda sim, o limite explodiria para .
Assim, podemos extrair que esse valor nunca será , sendo a uma função descontínua em .
Passo 5
Fazemos o mesmo agora para a segunda derivada!
Derivando o termo de :
Essa é a derivada da função na região de .
Em , entretanto, não haverá , pois não é contínua nesse ponto, então suas derivadas não existirão aí.
Logo,