Continuidade, introdução às Derivadas
Considere a função definida por:
- Dê um exemplo de valores para e tal que exista , porém não seja contínua em
- Determine e de forma que seja contínua em
- Para os valores de e obtidos no item anterior, existe ?
Passo 1
Ele quer que exista o limite, temos que achar esse limite então primeiro. A função tem uma forma antes de e uma forma depois de , temos que calcular os limites laterais então, começando com
Agora temos que achar o limite pela direita, ou seja,
Tudo se resume a achar
Se substituirmos os valores vamos ter
Que é uma indeterminação, temos que dar uma arrumada nisso
Passo 2
Vamos fatorar aquele polinômio de segundo grau que está no numerador da fração
Lembra como fatora um polinômio de grau? Ele tem a forma , temos que achar suas raízes, e depois ele fatorado vai ficar com e sendo suas raízes.
Vamos as raízes de , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter
A fatoração vai ficar
Passo 3
Voltando ao limite
E o limite de vai ficar
Passo 4
Para o limite existir os limites laterais devem ser iguais então devemos ter
Ele quer que a função não seja contínua, então devemos ter esse valor diferentes de , que é o valor da função no ponto, assim temos
E
Arrumando essas duas “equações”
E
Basta pegarmos um valor de diferente de e diferente de , vamos fazer
Assim vamos ter
Então temos e .
Passo 5
Agora ele quer que seja contínuo, basta tirar aquele diferente e colocar um igual
Isso nos diz que
E vamos ter e para a função ser contínua
Passo 6
Antes de qualquer coisa vamos dar uma arrumada na função , na verdade já arrumamos, só quero escrever o que achamos
Beleza, agora ele quer saber se a função tem derivada no ponto , para isso temos que achar a derivada antes de e depois de . Vamos lá, começando com
Vamos agora para
Como os valores das derivadas são diferentes pela direita e pela esquerda, ele não tem derivada nesse ponto.
Resposta
- e
- e
- Não existe