Seja a função definida por
Determine os pontos em que é derivável. Justifique.
Calcule nos pontos em que é derivável.
Passo 1
Usamos a continuidade lateralmente para observar suas derivadas laterais, calculadas pelo método apresentado na Teoria de derivadas laterais.
Trabalhamos, nas duas regiões de , com funções contínuas. Pode procurar, não há indeterminações ou pontos em que as funções explodam para nos seus domínios.
Pra variar, o nosso problema para ver a continuidade está simplesmente no ponto onde troca o domínio: . Vamos observar a continuidade nele.
Passo 2
Fazemos seus limites laterais:
Usando o Teorema do Confronto:
Assim,
Como os limites laterais não batem, ela não é contínua nem derivável em .
Passo 3
Agora precisamos derivar a função para observar sua continuidade no resto do domínio:
A primeira, para , é mais tranquila:
Essa derivada vale para com . Sim, esse é um ponto em que a derivada da função não será contínua em algum ponto. Nesse caso, vemos que a derivada não existirá em , pois esse valor gera , já que zeraria o denominador ali.
Passo 4
Para o domínio a derivada vai dar mais trabalho, vamos ter que usar a regra do Produto, do quociente e da cadeia, todas juntas:
É, esse monstro enorme é nossa derivada...
E então, por incrível que pareça, nenhum valor de vai zerar denominador nessa derivada ou gerar qualquer tipo de indeterminação, de onde a gente conclui que ela não gera problemas para a derivada.
Passo 5
Agora temos que achar as derivadas.
Mas repara, acabamos de calcular elas! Para :
Para e diferente de :
Sendo que em e em ela não existe.