Dada a seguinte função
Então:
- é contínua em e derivável em
- é contínua em e não derivável em
- não é contínua em e não derivável em
- não é contínua em e é derivável em
Passo 1
Vamos lá. Como a questão tá pedindo informações sobre diferenciabilidade, antes de discutirmos as opções, bora ver a condição pra uma função ser contínua:
Se isso aí for verdade, então sim nossa função é contínua! Uma coisa legal aqui que vai facilitar a nossa vida é que, de fato:
Porque a lei de formação pra um tanto pela esquerda quando pela direita é a mesma! Show, vamos calcular então:
Passo 2
Calculando
Vamos começar então. A primeira coisa a notar é que:
Não existe! Isso pode complicar um pouco as contas. Se usarmos das propriedades dos limites, chegamos à:
Então mesmo que o limite de não exista, podemos analisar o outro limite. Partiu então:
Uma coisa engraçada sobre esse limite é que ele é o inverso do limite fundamental trigonométrico. Quer ver? Dá uma olhada então nessa manipulação:
Usando outra propripriedade dos limites:
E de novo, usando a propriedade do produto de limites:
E não é que surgiu o limite fundamental trigonométrico ai? Sendo:
Ficamos com:
E logo:
E assim, pelo teorema do confronto, temos:
Logo, o limite é
Passo 3
Analisar a continuidade e a diferenciabilidade
A continuidade a gente já pode analisar direto. Lembrando da fórmula:
Vimos que:
E do enunciado:
Então de fato nossa função vai ser contínua! Agora, sobre a sua diferenciabilidade em , vamos precisar ver suas derivadas laterais. Se elas forem iguais, ai sim será diferenciável. Vamos ter que achar então:
Como a lei de formação pela direita e pela esquerda é a mesma e igual à , vai bastar que exista pra função ser diferenciável em .
Mas olha só! É ai que mora o problema! Como não existe, e na hora de derivar essa função esse termo não vai sumir (na verdade, até aparecer um vai aparecer se usarmos a regra do quociente e do produto), então:
Logo essa função não vai ser diferenciável em e vai estar valendo a letra como opção correta 😉 Questão fechada, agora é só partir pro abraço!